考研数学二·零基础讲义 第02讲（中）｜极限的计算（一）：四则运算、夹逼准则、单调有界准则

考研数学二·零基础讲义 · 第 02 讲（中）｜极限的计算（一）：四则运算、夹逼准则、单调有界准则

学完本篇，你会用四则运算法则配合因式分解、有理化、通分算出 $\dfrac00$ 型和 $\infty-\infty$ 型极限，会由极限反求参数，会用夹逼准则处理 $n$ 项和与 $\sqrt[n]{\cdots}$ 型，会用单调有界准则求递推数列的极限。预计用时：3–4 小时。

本讲地图#

• 四则运算法则：各自极限都存在时可以拆开算。大纲要求：掌握极限的四则运算法则。
• $\dfrac00$ 型三板斧：因式分解约零因子、有理化、通分；以及"已知极限反求参数"。
• 夹逼准则：两边夹，中间跑不掉。大纲要求：掌握，并会用它求极限。
• 单调有界准则：单调有界必有极限，递推数列的标准方法。大纲要求：掌握，并会用它求极限。
• 考研怎么考：反求参数是填空常客；夹逼与单调有界常在 $n$ 项和、递推数列题中出现，后者也是大题的常见第一问。

前置知识#

• 极限的概念、左右极限、保号性：见第 02 讲（上）。
• 因式分解（平方差、立方差）、有理化、等差数列求和、取整函数 $[x]$ 的不等式：见第 01 讲（中）（下）。
• 数学归纳法（中学知识）：先验证第一项成立，再证"第 $n$ 项成立 ⇒ 第 $n+1$ 项成立"。

---

一、极限的四则运算法则#

1.1 四则运算法则#

若 $\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$（都存在！），则

$$\lim[f(x)\pm g(x)]=A\pm B,\qquad \lim[f(x)g(x)]=AB,\qquad \lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\ (B\ne0).$$

常数可以提出来：$\lim Cf(x)=CA$。

逐行拆解：前提是 $A$、$B$ 都是有限数。只要有一个不存在，就不能直接拆。

多项式与有理分式：多项式 $P(x)$ 有 $\lim\limits_{x\to x_0}P(x)=P(x_0)$，直接代入即可；有理分式 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ 只要 $Q(x_0)\ne0$，也直接代入。

1.2 例题：$\dfrac00$ 型的三板斧#

例 1　$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2+3x-1}{x+1}$。

解：分母 $2+1=3\ne0$，直接代入：$\dfrac{4+6-1}{3}=\dfrac93=3$。

例 2（因式分解约零因子）　$\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$。

解：$\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\to6$。

例 3（有理化）　$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$。

解：

第一步，代入得 $\dfrac00$。含根号的差，分子分母同乘"共轭式" $\sqrt{1+x}+1$。

第二步，分子变成平方差：$(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)=(1+x)-1=x$。

第三步，原式 $=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\dfrac12$。

例 4　$\lim\limits_{x\to4}\dfrac{\sqrt x-2}{x-4}$。

解：$x-4=(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)$，约去后得 $\dfrac{1}{\sqrt x+2}\to\dfrac14$。

例 5（通分）　$\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{x^2-1}\right)$。

解：

第一步，两项各自趋于无穷，是"$\infty-\infty$"型，不能拆开算。

第二步，通分：$\dfrac{x+1}{x^2-1}-\dfrac{2}{x^2-1}=\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{1}{x+1}$。

第三步，极限为 $\dfrac12$。

1.3 易错点 ⚠️#

• ⚠️ 例 5 如果拆成 $\lim\dfrac{1}{x-1}-\lim\dfrac{2}{x^2-1}$，两个极限都不存在，法则不能用。
• ⚠️ "存在 + 不存在 = 不存在"；但"不存在 + 不存在"可能存在，也可能不存在，要具体算。
• ⚠️ 未定式有 7 种：$\dfrac00$、$\dfrac\infty\infty$、$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$。第 02 讲处理其中几种：$\dfrac00$（本篇：约分、有理化）、$\infty-\infty$（本篇：通分）、$\dfrac\infty\infty$（第 02 讲（下）：抓大头）、$1^\infty$（第 02 讲（下）：第二重要极限），其余在第 03、07 讲。

1.4 更多例题：四则运算与反求参数#

例 6　求 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-1}$。

解：

第一步，代入：分子 $1-3+2=0$，分母 $0$，$\dfrac00$ 型。

第二步，分子 $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，分母 $x^2-1=(x-1)(x+1)$。

第三步，约去零因子 $x-1$：$\dfrac{x-2}{x+1}$。

第四步，代入 $x=1$：$\dfrac{-1}{2}=-\dfrac12$。

例 7　求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(1+x)^3-1}{x}$。

解：

第一步，展开分子：$(1+x)^3-1=1+3x+3x^2+x^3-1=3x+3x^2+x^3$。

第二步，约去 $x$：$3+3x+x^2$。

第三步，令 $x\to0$，极限为 3。

例 8（导数的雏形）　求 $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$（这里 $x$ 看成常数，$h$ 是变量）。

解：

第一步，展开：$(x+h)^2-x^2=2xh+h^2$。

第二步，除以 $h$：$2x+h$。

第三步，$h\to0$：结果为 $2x$。这正是第 05 讲中 $x^2$ 的导数。

例 9（立方差有理化）　求 $\lim\limits_{x\to8}\dfrac{\sqrt[3]x-2}{x-8}$。

解：

第一步，令 $t=\sqrt[3]x$，则 $x=t^3$，$x\to8$ 时 $t\to2$。

第二步，原式 $=\lim\limits_{t\to2}\dfrac{t-2}{t^3-8}=\lim\limits_{t\to2}\dfrac{t-2}{(t-2)(t^2+2t+4)}=\lim\limits_{t\to2}\dfrac{1}{t^2+2t+4}$。

第三步，代入 $t=2$：$\dfrac{1}{4+4+4}=\dfrac{1}{12}$。

例 10（反求参数，填空常客）　已知 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2+ax+b}{x-1}=3$，求 $a,b$。

解：

第一步，分母 $\to0$，而极限是有限数 3，所以分子也必须 $\to0$（否则"非零数除以趋于 0 的数"会趋于无穷）。于是 $1+a+b=0$，即 $b=-1-a$。

第二步，代回分子：$x^2+ax-1-a=(x^2-1)+a(x-1)=(x-1)(x+1+a)$。

第三步，约去 $x-1$：原极限 $=\lim\limits_{x\to1}(x+1+a)=2+a=3$，所以 $a=1$。

第四步，$b=-1-1=-2$。

答案：$a=1$，$b=-2$。

⚠️ 反求参数的关键一句话：分母趋于 0 且极限存在（有限），则分子必趋于 0。

---

二、夹逼准则#

2.1 大白话#

两个警察押着一个小偷走向警局。左右两个警察都到了警局，夹在中间的小偷也只能到警局。

图 1：夹逼准则的样子：$-x^2\le x^2\sin\dfrac1x\le x^2$，上下两条抛物线在 $x\to0$ 时都到 0，中间来回振荡的曲线被"押"着也到 0

2.2 正式表述#

若在 $x_0$ 附近（或 $n$ 足够大时）有 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，且

$$\lim g(x)=\lim h(x)=A,$$

则 $\lim f(x)=A$。数列版本同理。

逐行拆解：要找两个"警察" $g$ 和 $h$：一个比 $f$ 小，一个比 $f$ 大，而且它们的极限相同。如果两个警察去的不是同一个地方，夹不出结论。

什么时候想到夹逼？ ① $n$ 项和，每项分母不同（如 $\dfrac{1}{n^2+1}+\cdots+\dfrac{1}{n^2+n}$）；② 有界函数乘无穷小（如 $\dfrac{\sin n}{n}$）；③ $\sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_k^n}$ 型。

2.3 例题#

例 11　求 $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)$。

解：

第一步，共 $n$ 项，每一项的分母在 $\sqrt{n^2+1}$ 到 $\sqrt{n^2+n}$ 之间。分母越大项越小。

第二步，把每项都换成最小的那项，得下界；都换成最大的那项，得上界：

$$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le\text{原式}\le\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}.$$

第三步，求两边极限（分子分母同除以 $n$）：$\dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1n}}\to1$，$\dfrac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\to1$。

第四步，由夹逼准则，原式极限为 1。

例 12　求 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin n}{n}$。

解：$-1\le\sin n\le1$，所以 $-\dfrac1n\le\dfrac{\sin n}{n}\le\dfrac1n$。两边都趋于 0，原式极限为 0。

更一般的结论：有界量 × 无穷小 = 无穷小（第 03 讲还会用）。

例 13　求 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n+3^n}$。

解：

第一步，$3^n\le2^n+3^n\le3^n+3^n=2\cdot3^n$。

第二步，开 $n$ 次方：$3\le\sqrt[n]{2^n+3^n}\le3\cdot\sqrt[n]{2}$。

第三步，$\sqrt[n]2=2^{\frac1n}\to2^0=1$，右边趋于 3。

第四步，由夹逼准则，极限为 3。规律：取最大的那个底数。

2.4 易错点 ⚠️#

• ⚠️ 例 11 不能"每一项都趋于 0，所以和趋于 0"。项数 $n$ 也在增加，无穷多个无穷小相加不一定是无穷小。
• ⚠️ 放缩不能放得太过：两边极限必须相等。

2.5 更多例题：夹逼准则#

例 14（含取整函数）　求 $\lim\limits_{x\to0^+}x\left[\dfrac1x\right]$。

解：

第一步，取整不等式（第 01 讲（中））：$\dfrac1x-1<\left[\dfrac1x\right]\le\dfrac1x$。

第二步，$x>0$，三边同乘 $x$（不等号方向不变）：$1-x<x\left[\dfrac1x\right]\le1$。

第三步，$x\to0^+$ 时左边 $1-x\to1$，右边是 1。

第四步，由夹逼准则，极限为 1。

（$x\to0^-$ 时同乘负数 $x$，不等号反向：$1\le x\left[\dfrac1x\right]<1-x$，极限也是 1。所以 $\lim\limits_{x\to0}x\left[\dfrac1x\right]=1$。）

例 15　求 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{n^n}$。

解：

第一步，写开：$\dfrac{n!}{n^n}=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{2}{n}\cdot\dfrac{3}{n}\cdots\dfrac{n}{n}$。

第二步，从第二个因子起，每个因子都 $\le1$，所以 $0<\dfrac{n!}{n^n}\le\dfrac1n$。

第三步，两边都趋于 0，由夹逼准则，极限为 0。

例 16　求 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+2^n+3^n}$。

解：

第一步，最大的底数是 3：$3^n\le1+2^n+3^n\le3\cdot3^n$。

第二步，开 $n$ 次方：$3\le\sqrt[n]{1+2^n+3^n}\le3\cdot3^{\frac1n}$。

第三步，$3^{\frac1n}\to3^0=1$，右边 $\to3$。极限为 3。

⚠️ 放缩时常用的三个技巧：分母统一换成最大/最小的；有界因子换成上下界；多个正数之和夹在"最大项"与"项数 × 最大项"之间。

---

三、单调有界准则#

3.1 大白话#

你一直往上爬楼梯（单调递增），而楼顶有天花板（有上界），那你最终一定会停在某个高度附近（有极限）。

3.2 正式表述#

单调递增且有上界的数列必有极限；单调递减且有下界的数列必有极限。

简称"单调有界必有极限"。它只告诉你极限存在，具体值要另外求。

常用于递推数列（$a_{n+1}=f(a_n)$ 这种"下一项由上一项算出"的数列），标准三步：

1. 证明有界（常用数学归纳法）；
2. 证明单调（作差 $a_{n+1}-a_n$ 或作商）；
3. 设极限为 $A$，在递推式两边取极限，解方程求 $A$。

3.3 例题#

例 17　设 $a_1=\sqrt2$，$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$，求 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。

解：

先感受一下：$a_1\approx1.414$，$a_2=\sqrt{2+1.414}\approx1.848$，$a_3\approx1.962$，$a_4\approx1.990$……好像在往 2 靠。

第一步，有界：证明 $a_n<2$。$a_1=\sqrt2<2$；若 $a_n<2$，则 $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+2}=2$。由数学归纳法，所有 $a_n<2$。

第二步，单调：

$$a_{n+1}-a_n=\sqrt{2+a_n}-a_n=\frac{(2+a_n)-a_n^2}{\sqrt{2+a_n}+a_n}=\frac{(2-a_n)(1+a_n)}{\sqrt{2+a_n}+a_n}.$$

因为 $0<a_n<2$，分子分母都正，所以 $a_{n+1}>a_n$，单调递增。

第三步，求值：单调递增有上界，极限存在，设为 $A$。在 $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ 两边令 $n\to\infty$：$A=\sqrt{2+A}$，平方得 $A^2-A-2=0$，$(A-2)(A+1)=0$，$A=2$ 或 $A=-1$。由于 $a_n>0$，由保号性 $A\ge0$，舍去 $-1$。

所以 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=2$。

3.4 一个著名的应用#

数列 $\left(1+\dfrac1n\right)^n$ 单调递增且有上界（证明了解即可），所以有极限，这个极限就定义为 $e$：

$n$	1	2	5	10	100	1000
$\left(1+\frac1n\right)^n$	2	2.25	2.48832	2.59374	2.70481	2.71692

越来越接近 $e\approx2.71828$。这就引出了第二个重要极限。

图 2：单调有界：$\left(1+\dfrac1n\right)^n$ 的点一个个往上爬，却始终碰不到"天花板" 3，最后停在 $e$ 附近（动画循环播放）

3.5 易错点 ⚠️#

• ⚠️ 不能跳过"证明极限存在"就直接设 $A$ 解方程。比如 $a_{n+1}=-a_n$，$a_1=1$，假装极限为 $A$ 会解出 $A=0$，但这个数列是 $1,-1,1,\dots$，根本没有极限。
• ⚠️ 解出多个 $A$ 时，用数列的范围（保号性）筛选。

3.6 更多例题：单调有界准则#

例 18（单调递减有下界）　设 $a_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac12\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)$，证明 $\{a_n\}$ 收敛并求极限。

解：

第一步，正数：$a_1=2>0$，若 $a_n>0$，则 $a_{n+1}>0$。所以所有 $a_n>0$。

第二步，有下界：由均值不等式，$a_{n+1}=\dfrac12\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)\ge\sqrt{a_n\cdot\dfrac{2}{a_n}}=\sqrt2$。又 $a_1=2\ge\sqrt2$，所以所有 $a_n\ge\sqrt2$。

第三步，单调递减：$a_{n+1}-a_n=\dfrac12\left(\dfrac{2}{a_n}-a_n\right)=\dfrac{2-a_n^2}{2a_n}\le0$（因为 $a_n\ge\sqrt2$，$a_n^2\ge2$）。

第四步，单调递减且有下界，极限存在，设为 $A$，且 $A\ge\sqrt2>0$。两边取极限：$A=\dfrac12\left(A+\dfrac2A\right)$，化简得 $A=\dfrac{2}{A}$，$A^2=2$，$A=\sqrt2$。

（这其实就是古人手算 $\sqrt2$ 的方法：$a_2=1.5$，$a_3\approx1.4167$，$a_4\approx1.41422$，收敛极快。）

例 19　设 $a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{3a_n}$，求 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。

解：

第一步，有界：$a_1=1<3$；若 $0<a_n<3$，则 $a_{n+1}=\sqrt{3a_n}<\sqrt9=3$。所以 $0<a_n<3$。

第二步，单调：用作商，$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\sqrt{3a_n}}{a_n}=\sqrt{\dfrac{3}{a_n}}>1$（因为 $a_n<3$），递增。

第三步，设极限为 $A$：$A=\sqrt{3A}$，$A^2=3A$，$A=0$ 或 $A=3$。数列递增且 $a_1=1$，所以 $A\ge1$，取 $A=3$。

⚠️ 筛选根时用"数列的范围"：递增数列的极限不小于首项，递减数列的极限不大于首项。

---

公式/结论速记卡#

类别	结论
四则运算	各自极限都存在才能拆；除法要求分母极限 $\ne0$；常数可提出
直接代入	多项式、分母不为 0 的有理分式、初等函数在定义点：直接代
$\frac00$ 三板斧	因式分解约零因子；有理化（平方差、立方差）；通分
根式换元	$\sqrt[3]{x}$ 型可令 $t=\sqrt[3]x$ 化成多项式
反求参数	分母 $\to0$ 且极限有限 ⇒ 分子 $\to0$
$\infty-\infty$	通分或有理化，化为分式
夹逼	$g\le f\le h$ 且 $\lim g=\lim h=A$ ⇒ $\lim f=A$
夹逼常见场景	$n$ 项和（分母不同）；有界 × 无穷小；$\sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_k^n}\to\max a_i$；取整 $x-1<[x]\le x$
单调有界	先证有界（归纳）→ 再证单调（作差/作商）→ 取极限解方程 → 用范围筛根
常用结果	$\sqrt[n]{a}\to1\ (a>0)$；$\frac{n!}{n^n}\to0$；$\lim\limits_{x\to0}x[\frac1x]=1$

自测练习#

1. 求 $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}$。

答案与提示

$\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)}=\dfrac{x+2}{x-1}\to\dfrac{4}{1}=4$。

2. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{4+x}-2}{x}$。

答案与提示

分子分母同乘 $\sqrt{4+x}+2$：分子变为 $x$，原式 $=\lim\dfrac{1}{\sqrt{4+x}+2}=\dfrac14$。

3. 求 $\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{3}{1-x^3}\right)$。

答案与提示

通分，$1-x^3=(1-x)(1+x+x^2)$：原式 $=\dfrac{1+x+x^2-3}{1-x^3}=\dfrac{x^2+x-2}{(1-x)(1+x+x^2)}=\dfrac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)}=\dfrac{-(x+2)}{1+x+x^2}\to\dfrac{-3}{3}=-1$。

4. 已知 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2+ax+b}{x-1}=5$，求 $a,b$。

答案与提示

分子 $\to0$：$1+a+b=0$。分子 $=(x-1)(x+1+a)$，极限 $2+a=5$，$a=3$，$b=-4$。

5. 求 $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n}{n^2+1}+\dfrac{n}{n^2+2}+\cdots+\dfrac{n}{n^2+n}\right)$。

答案与提示

$n$ 项，每项在 $\dfrac{n}{n^2+n}$ 与 $\dfrac{n}{n^2+1}$ 之间：$\dfrac{n^2}{n^2+n}\le\text{原式}\le\dfrac{n^2}{n^2+1}$，两边都 $\to1$。极限为 1。

6. 求 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+2^n+5^n}$。

答案与提示

$5^n\le1+2^n+5^n\le3\cdot5^n$，开方后 $5\le\cdots\le5\cdot3^{\frac1n}\to5$。极限为 5。

7. 求 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n\cos n}{n^2+1}$。

答案与提示

$\lvert\cos n\rvert\le1$，所以 $\left\lvert\dfrac{n\cos n}{n^2+1}\right\rvert\le\dfrac{n}{n^2+1}\to0$。由夹逼，极限为 0。

8.（略提高） 设 $a_1=\sqrt2$，$a_{n+1}=\sqrt{2a_n}$，证明极限存在并求之。

答案与提示

有界：$a_1<2$；若 $a_n<2$，则 $a_{n+1}<\sqrt4=2$。单调：$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\sqrt{\dfrac{2}{a_n}}>1$，递增。设极限 $A$：$A^2=2A$，$A=0$ 或 2；递增且 $a_1=\sqrt2$，$A\ge\sqrt2$，故 $A=2$。

下一讲预告#

第 02 讲（下）学两个重要极限和 $\dfrac\infty\infty$ 型的抓大头，并总结拿到一道极限题的完整思路。