考研数学二·零基础讲义 第02讲（上）｜极限的概念：数列极限、函数极限、左右极限与性质

考研数学二·零基础讲义 · 第 02 讲（上）｜极限的概念：数列极限、函数极限、左右极限与性质

学完本篇，你能说清"极限"是什么意思，会读 $\varepsilon$–$N$、$\varepsilon$–$\delta$ 定义，记住常见函数在无穷远处的走向，会判断左右极限（尤其是分段函数和 $e^{1/x}$ 型），会用唯一性、有界性、保号性做推理。预计用时：3 小时。

第 02 讲分三篇：（上）极限的概念与性质；（中）四则运算、夹逼准则、单调有界准则；（下）两个重要极限与抓大头。

本讲地图#

• 数列极限：$n\to\infty$ 时 $a_n$ 无限靠近一个数。先建立直观，再看 $\varepsilon$–$N$ 语言。大纲要求：理解极限的概念。
• 函数极限：$x\to x_0$ 或 $x\to\infty$ 时 $f(x)$ 的趋势；$\varepsilon$–$\delta$ 语言了解即可。
• 左极限与右极限：极限存在 ⇔ 左右极限都存在且相等。大纲要求：理解左右极限及其与极限存在的关系。
• 极限的性质：唯一性、有界性、保号性。大纲要求：掌握。
• 考研怎么考：分段函数在分界点的极限、含 $e^{1/x}$ 或 $\arctan\frac1x$ 的极限要分左右，是选择、填空的常见考点；$\varepsilon$ 语言的证明题基础阶段不必练。

前置知识#

• 函数、分段函数、基本初等函数的图像（尤其 $e^x$、$\arctan x$）：见第 01 讲（上）（中）。
• 绝对值不等式 $\lvert x-a\rvert<\delta$ 的含义：见第 01 讲（下）。
• 符号读法（$\lim$、$\to$、$\infty$、$\varepsilon$、$\delta$、$\forall$、$\exists$）：见第 00 讲。

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一、数列极限#

1.1 大白话#

数列就是排好队的一串数：$a_1,a_2,a_3,\dots$，第 $n$ 个叫 $a_n$（通项）。

想象你往一堵墙走，每次走剩下距离的一半：离墙 1 米、$\dfrac12$ 米、$\dfrac14$ 米……你永远到不了墙，但要多近有多近。这个"墙"就是极限。

数列极限关心的是：当 $n$ 越来越大（$n\to\infty$）时，$a_n$ 是不是越来越靠近某个固定的数 $a$。

看三个例子：

• $a_n=\dfrac1n$：$1,\dfrac12,\dfrac13,\dots$ 越来越靠近 0。极限是 0。
• $a_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$：$-1,\dfrac12,-\dfrac13,\dfrac14,\dots$ 一正一负地跳，但跳的幅度越来越小，也靠近 0。极限是 0。
• $a_n=(-1)^n$：$-1,1,-1,1,\dots$ 永远在两个值之间跳，不靠近任何一个固定的数。极限不存在。

图 1：数列 $a_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ 的点一个个出现：一正一负地跳，但越来越靠近 0。取 ε = 0.1，从第 11 项起所有点都落在绿色带子里，所以 N = 10 就够了（动画循环播放）

1.2 正式定义（ε–N 语言）#

$$\lim_{n\to\infty}a_n=a\iff\forall\,\varepsilon>0,\ \exists\,N\in\mathbb{N}^{+},\ \text{当}\ n>N\ \text{时},\ \lvert a_n-a\rvert<\varepsilon.$$

1.3 逐行拆解#

• $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$：读作"当 n 趋于无穷时，a n 的极限等于 a"。也可写 $a_n\to a\ (n\to\infty)$，称数列收敛于 $a$；没有极限就叫发散。
• $\forall\,\varepsilon>0$：读作"对任意的艾普西隆大于 0"。$\varepsilon$ 代表"你要求的精度"，你可以要求得非常苛刻，比如 $0.001$、$0.000001$。
• $\exists\,N$：读作"存在 N"。$N$ 是一个"门槛"项数。
• 当 $n>N$ 时 $\lvert a_n-a\rvert<\varepsilon$：过了门槛之后的所有项，与 $a$ 的距离都小于你要求的精度。

一句话：不管你要求多精确，我总能找到一个位置，从这以后的每一项都达到这个精度。

零基础说明：考研数二对 $\varepsilon$–$N$、$\varepsilon$–$\delta$ 的证明要求不高，基础阶段会读、懂意思即可，不必练证明题。重点放在后面的计算方法上。

1.4 例题#

例 1　用直观说明 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n=0$，并对 $\varepsilon=0.01$ 找出一个 $N$。

解：

第一步，要让 $\left\lvert\dfrac1n-0\right\rvert=\dfrac1n<0.01$，只需 $n>100$。

第二步，所以取 $N=100$：从第 101 项起，每一项都比 0.01 小。

第三步，换成任意的 $\varepsilon$：只需 $n>\dfrac{1}{\varepsilon}$，取 $N$ 为不小于 $\dfrac1\varepsilon$ 的整数即可。无论 $\varepsilon$ 多小都找得到，所以极限是 0。

例 2　求 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n+1}{n+3}$，并说明"距离"怎么变小。

解：

第一步，分子分母同除以 $n$：$\dfrac{2n+1}{n+3}=\dfrac{2+\frac1n}{1+\frac3n}$。

第二步，$n\to\infty$ 时 $\dfrac1n\to0$，$\dfrac3n\to0$，所以极限是 $\dfrac{2+0}{1+0}=2$。

第三步，看距离：$\left\lvert\dfrac{2n+1}{n+3}-2\right\rvert=\left\lvert\dfrac{2n+1-2n-6}{n+3}\right\rvert=\dfrac{5}{n+3}$，$n$ 越大它越小，可以小于任意 $\varepsilon$。

1.5 易错点 ⚠️#

• ⚠️ 极限是"最终趋势"，和前面有限多项无关。改掉数列的前 100 项，极限不变。
• ⚠️ 数列可以"跳着"趋近（如 $\dfrac{(-1)^n}{n}$），不要求单调。
• ⚠️ $n\to\infty$ 在数列里特指 $n$ 取正整数一路增大。

1.6 更多例题：数列极限#

例 3　求 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}$，并对任意 $\varepsilon>0$ 找出 $N$。

解：

第一步，直观：$\dfrac12,\dfrac23,\dfrac34,\dots$，越来越接近 1。

第二步，算距离：$\left\lvert\dfrac{n}{n+1}-1\right\rvert=\left\lvert\dfrac{n-(n+1)}{n+1}\right\rvert=\dfrac{1}{n+1}$。

第三步，要 $\dfrac{1}{n+1}<\varepsilon$，只需 $n+1>\dfrac1\varepsilon$，即 $n>\dfrac1\varepsilon-1$。取 $N$ 为不小于 $\dfrac1\varepsilon-1$ 的正整数即可。

第四步，所以 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$。

例 4（等比数列 $q^n$，务必记住）　讨论 $\lim\limits_{n\to\infty}q^n$。

解：分情况看：

• $\lvert q\rvert<1$：比如 $q=\dfrac12$，$\dfrac12,\dfrac14,\dfrac18,\dots\to0$；$q=-\dfrac12$ 时一正一负，绝对值也趋于 0。极限为 0。
• $q=1$：每一项都是 1，极限为 1。
• $q>1$：比如 $2,4,8,\dots$ 无限增大，极限不存在（趋于 $+\infty$）。
• $q=-1$：$-1,1,-1,\dots$ 来回跳，不存在。
• $q<-1$：比如 $-2,4,-8,\dots$ 正负交替且越来越大，不存在。

一句话：$\lvert q\rvert<1$ 时 $q^n\to0$，这个结论在夹逼、抓大头里天天用。

子列（了解）：从数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列叫子列，比如全部奇数项 $a_1,a_3,a_5,\dots$、全部偶数项 $a_2,a_4,\dots$。有两条实用结论：

• 数列收敛于 $a$，则它的任何子列也收敛于 $a$；
• 奇数项子列与偶数项子列都收敛于同一个 $a$，则整个数列收敛于 $a$。

所以，只要找到两个子列极限不同，原数列就发散。

例 5　判断 $a_n=(-1)^n\dfrac{n+1}{n}$ 是否收敛。

解：

第一步，偶数项：$n=2k$ 时 $a_n=\dfrac{2k+1}{2k}\to1$。

第二步，奇数项：$n=2k-1$ 时 $a_n=-\dfrac{2k}{2k-1}\to-1$。

第三步，两个子列极限不同（$1\ne-1$），所以数列发散。

⚠️ 例 5 和 $\dfrac{(-1)^n}{n}$ 不一样：后者的"摆动幅度"趋于 0，所以收敛；前者摆动幅度趋于 1，发散。

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二、函数极限#

2.1 大白话#

函数极限问的是：当 $x$ 无限靠近某个点 $x_0$（但不等于 $x_0$）时，$f(x)$ 是不是无限靠近某个数 $A$。

关键词是"靠近但不等于"。就像你看一部电影的结局走向，不关心片尾最后一帧是不是黑屏。$f(x)$ 在 $x_0$ 这一点有没有定义、等于多少，都不影响极限。

例：$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 处没定义（分母为 0）。但 $x\ne1$ 时它等于 $x+1$，$x$ 靠近 1 时 $f(x)$ 靠近 2。所以 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=2$。

图 2：$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 的图像是"挖掉一个点"的直线：x 从左右两边靠近 1 时，函数值都靠近 2，与 x = 1 处有没有定义无关（动画循环播放）

2.2 正式定义（ε–δ 语言，了解即可）#

$x\to x_0$ 的情形：

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A\iff\forall\,\varepsilon>0,\ \exists\,\delta>0,\ \text{当}\ 0<\lvert x-x_0\rvert<\delta\ \text{时},\ \lvert f(x)-A\rvert<\varepsilon.$$

$x\to\infty$ 的情形：

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=A\iff\forall\,\varepsilon>0,\ \exists\,X>0,\ \text{当}\ \lvert x\rvert>X\ \text{时},\ \lvert f(x)-A\rvert<\varepsilon.$$

2.3 逐行拆解#

• $\delta$ 读"德尔塔"，表示 $x$ 离 $x_0$ 的距离范围。
• $0<\lvert x-x_0\rvert<\delta$：$x$ 离 $x_0$ 足够近（小于 $\delta$），而且 $x\ne x_0$（这就是"$0<$"的作用）。
• $\lvert f(x)-A\rvert<\varepsilon$：函数值离 $A$ 足够近。
• 一句话：你要 $f(x)$ 离 $A$ 多近，我就能让 $x$ 离 $x_0$ 足够近来做到。
• $x\to\infty$ 包括 $x\to+\infty$ 和 $x\to-\infty$ 两个方向；只说一个方向时要写清楚。

2.4 例题#

例 6　求 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}$。

解：

第一步，直接代入得 $\dfrac00$，不能直接算，这叫"$\dfrac00$ 型未定式"。

第二步，因为 $x\to1$ 时 $x\ne1$，可以约去 $x-1$：$\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$。

第三步，$\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2$。

2.5 易错点 ⚠️#

• ⚠️ 约分 $x-1$ 之所以合法，正是因为极限过程里 $x\ne1$。
• ⚠️ $\infty$ 不是一个数。"极限为 $\infty$"其实表示极限不存在，只是说明了不存在的方式（无限增大）。

2.6 更多例题：函数极限#

例 7（体会 ε–δ，了解即可）　说明 $\lim\limits_{x\to2}(3x-1)=5$。

解：

第一步，算距离：$\lvert(3x-1)-5\rvert=\lvert3x-6\rvert=3\lvert x-2\rvert$。

第二步，要它 $<\varepsilon$，只需 $\lvert x-2\rvert<\dfrac\varepsilon3$。

第三步，所以取 $\delta=\dfrac\varepsilon3$：当 $0<\lvert x-2\rvert<\delta$ 时，$\lvert(3x-1)-5\rvert<\varepsilon$。

第四步，对任意 $\varepsilon$ 都能找到 $\delta$，极限成立。

直观理解：要让函数值误差小于 0.03，$x$ 离 2 的距离小于 0.01 就够了，因为函数把误差放大了 3 倍。

例 8（从图像读出无穷远处的极限）　写出下列极限：

$$\lim_{x\to+\infty}e^{-x},\quad \lim_{x\to-\infty}e^{x},\quad \lim_{x\to+\infty}\arctan x,\quad \lim_{x\to-\infty}\arctan x,\quad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2},\quad \lim_{x\to0^+}\ln x.$$

解（回忆第 01 讲（中）的图像）：

• $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$，$x\to+\infty$ 时分母无限增大，极限为 0。
• $e^x$ 在左边贴着 $x$ 轴，$\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0$。
• $\arctan x$ 右边贴近 $\dfrac{\pi}{2}$，左边贴近 $-\dfrac{\pi}{2}$。
• $\dfrac{1}{x^2}$：$x$ 无论往哪边跑远，分母都无限增大，极限为 0。
• $\ln x$ 在 $x\to0^+$ 时向下无限延伸，极限为 $-\infty$（不存在）。

例 9（"定义点直接代入"）　求 $\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\sin x+x^2\right)$ 和 $\lim\limits_{x\to1}\ln(1+x^2)$。

解：这两个函数都是初等函数，且在所求点有定义。初等函数在定义区间内的点上，极限就等于函数值（第 04 讲会证明这叫"连续"），可以直接代入：

• $\sin\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi^2}{4}=1+\dfrac{\pi^2}{4}$；
• $\ln(1+1)=\ln2$。

⚠️ 直接代入的前提是函数在这一点"正常"（有定义、不是分母为 0 等）。代入得到 $\dfrac00$、$\dfrac\infty\infty$ 这类形式就不能直接下结论，要用第 02 讲（中）（下）的方法。

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三、左极限与右极限#

3.1 大白话#

$x$ 走向 $x_0$ 有两条路：从左边走过来（$x<x_0$），从右边走过来（$x>x_0$）。两条路走到的"终点高度"要一样，极限才存在。就像两拨人从桥的两头往中间修，必须在同一高度对接，桥才算通了。

3.2 正式定义与定理#

• 左极限：$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A$，记作 $f(x_0^-)$ 或 $f(x_0-0)$。$x\to x_0^-$ 读作"x 从左侧趋于 x 零"。
• 右极限：$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A$，记作 $f(x_0^+)$ 或 $f(x_0+0)$。

定理：

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A\iff\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A.$$

什么时候要分左右算？ 三种典型情况：① 分段函数在分界点；② 含 $\lvert x\rvert$；③ 含 $e^{\frac1x}$、$\arctan\dfrac1x$ 这类在 $x\to0$ 时左右表现不同的式子。同理，$x\to\infty$ 时含 $e^x$、$\arctan x$、$\sqrt{x^2}$ 的式子也要分 $+\infty$ 和 $-\infty$。

3.3 例题#

例 10　讨论 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\lvert x\rvert}{x}$。

解：

第一步，$x>0$ 时 $\lvert x\rvert=x$，$\dfrac{\lvert x\rvert}{x}=1$，右极限为 1。

第二步，$x<0$ 时 $\lvert x\rvert=-x$，$\dfrac{\lvert x\rvert}{x}=-1$，左极限为 $-1$。

第三步，左右极限不相等，所以极限不存在。

例 11　讨论 $\lim\limits_{x\to0}e^{\frac1x}$ 和 $\lim\limits_{x\to0}\arctan\dfrac1x$。

解：

• $x\to0^+$ 时 $\dfrac1x\to+\infty$，$e^{\frac1x}\to+\infty$；$x\to0^-$ 时 $\dfrac1x\to-\infty$，$e^{\frac1x}\to0$。左右不等，极限不存在。
• $x\to0^+$ 时 $\arctan\dfrac1x\to\dfrac{\pi}{2}$；$x\to0^-$ 时 $\arctan\dfrac1x\to-\dfrac{\pi}{2}$（回忆第 01 讲 $\arctan$ 的两条水平渐近线）。左右不等，极限不存在。

图 3：例 11 的图：$y=\arctan\dfrac1x$ 从右边走到 0 停在 π/2，从左边走到 0 停在 −π/2，两头对不上，极限不存在

例 12　设

$$f(x)=\begin{cases}x+a, & x<1,\\ 2x^2, & x\ge1,\end{cases}$$

$\lim\limits_{x\to1}f(x)$ 存在，求 $a$。

解：

第一步，左极限用 $x<1$ 那段：$\lim\limits_{x\to1^-}(x+a)=1+a$。

第二步，右极限用 $x\ge1$ 那段：$\lim\limits_{x\to1^+}2x^2=2$。

第三步，极限存在要求左右相等：$1+a=2$，所以 $a=1$。

3.4 易错点 ⚠️#

• ⚠️ $e^{\frac1x}$ 在 $x\to0$ 时的左右极限是 0 和 $+\infty$，这个结论非常常考，务必记住。
• ⚠️ 分段函数求分界点的极限，必须分左右，不能只代一段。

3.5 更多例题：左右极限#

例 13　设 $f(x)=\begin{cases}x^2+1, & x<0,\\ 2x, & x\ge0,\end{cases}$ 问 $\lim\limits_{x\to0}f(x)$ 是否存在。

解：

第一步，左极限：$\lim\limits_{x\to0^-}(x^2+1)=1$。

第二步，右极限：$\lim\limits_{x\to0^+}2x=0$。

第三步，$1\ne0$，极限不存在。注意 $f(0)=0$ 存在，但这不影响结论。

例 14（$\pm\infty$ 也要分开）　讨论 $\lim\limits_{x\to\infty}e^x$ 和 $\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x$。

解：

• $x\to+\infty$ 时 $e^x\to+\infty$；$x\to-\infty$ 时 $e^x\to0$。两边不同，$\lim\limits_{x\to\infty}e^x$ 不存在。
• $\arctan x$ 两边分别趋于 $\dfrac{\pi}{2}$ 和 $-\dfrac{\pi}{2}$，$\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x$ 也不存在。

例 15（经典综合，略提高）　求 $\lim\limits_{x\to0}\left(\dfrac{2+e^{\frac1x}}{1+e^{\frac4x}}+\dfrac{\sin x}{\lvert x\rvert}\right)$。

解：含 $e^{\frac1x}$ 和 $\lvert x\rvert$，必须分左右。

第一步，右极限（$x\to0^+$）：$e^{\frac1x}\to+\infty$，$e^{\frac4x}$ 更大。第一项分子分母同除以 $e^{\frac4x}$：

$$\frac{2+e^{\frac1x}}{1+e^{\frac4x}}=\frac{2e^{-\frac4x}+e^{-\frac3x}}{e^{-\frac4x}+1}\to\frac{0+0}{0+1}=0.$$

$x>0$ 时 $\lvert x\rvert=x$，$\dfrac{\sin x}{x}\to1$（第一个重要极限，第 02 讲（下））。右极限 $=0+1=1$。

第二步，左极限（$x\to0^-$）：$e^{\frac1x}\to0$，$e^{\frac4x}\to0$，第一项 $\to\dfrac{2+0}{1+0}=2$。$x<0$ 时 $\lvert x\rvert=-x$，$\dfrac{\sin x}{-x}\to-1$。左极限 $=2-1=1$。

第三步，左右极限都等于 1，所以极限存在，等于 1。

⚠️ 这道题说明：单独看每一项左右极限都不同，加起来却可能相等。一定要先分别求出左右极限再比较。

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四、极限的性质#

4.1 三条性质#

大白话：

• 唯一性：一个数列（函数）如果有极限，就只有一个。一条路不能同时通往两个终点。
• 有界性：收敛数列一定有界；函数在 $x_0$ 有极限，则在 $x_0$ 附近（去掉 $x_0$ 本身的一个小范围）有界。终点确定了，路上的值就不会跑到天上去。
• 保号性：如果极限 $A>0$，那么靠近 $x_0$ 时 $f(x)$ 也大于 0。极限是正的，"附近"的函数值也是正的。

正式表述（保号性）：若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A>0$，则存在 $\delta>0$，当 $0<\lvert x-x_0\rvert<\delta$ 时 $f(x)>0$（$A<0$ 时同理 $f(x)<0$）。反过来，若在 $x_0$ 附近 $f(x)\ge0$ 且极限为 $A$，则 $A\ge0$。

例 16　已知 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^2}=2$，问 $x=0$ 附近 $f(x)$ 的符号。

解：

第一步，极限 $2>0$，由保号性，在 $x=0$ 附近（$x\ne0$）有 $\dfrac{f(x)}{x^2}>0$。

第二步，$x^2>0$，所以 $f(x)>0$。

（这类推理在第 08 讲判断极值时会再出现。）

⚠️ 有界不一定收敛：$(-1)^n$ 有界但不收敛。

⚠️ 保号性的逆向结论只能得到 $A\ge0$，不能得到 $A>0$。例如 $f(x)=x^2>0$（$x\ne0$），但 $\lim\limits_{x\to0}x^2=0$。

4.2 更多例题：性质的使用#

例 17（有界性）　已知 $\lim\limits_{x\to1}f(x)=3$，能说明什么？$\dfrac1x$ 在 $x=0$ 附近有界吗？

解：

第一步，由局部有界性，$f(x)$ 在 $x=1$ 附近（去掉 1 本身）有界；事实上由保号性的思路，靠近 1 时 $f(x)$ 会落在 3 附近，比如在 $(2,4)$ 之间。

第二步，$\dfrac1x$ 在 $x\to0$ 时无限增大，在 0 的任何小邻域内都无界——这也反过来说明 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac1x$ 不存在（有极限必局部有界，逆否命题：局部无界则无极限）。

例 18（保号性，预告极值）　已知 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}=-1$，判断在 $x=a$ 附近 $f(x)$ 与 $f(a)$ 的大小。

解：

第一步，极限 $-1<0$，由保号性，$x$ 靠近 $a$（$x\ne a$）时 $\dfrac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}<0$。

第二步，分母 $(x-a)^2>0$，所以分子 $f(x)-f(a)<0$，即 $f(x)<f(a)$。

第三步，$f(a)$ 比附近的值都大——这就是第 08 讲的"极大值"。

例 19（唯一性）　为什么 $\lim\limits_{x\to0}\sin\dfrac1x$ 不存在？

解：

第一步，取 $x_n=\dfrac{1}{2n\pi}\to0$，此时 $\sin\dfrac{1}{x_n}=\sin2n\pi=0$。

第二步，取 $x_n'=\dfrac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}\to0$，此时 $\sin\dfrac{1}{x_n'}=1$。

第三步，沿两条路径趋于 0，函数值分别趋于 0 和 1。若极限存在，由唯一性它只能有一个值，矛盾。所以极限不存在。$\sin\dfrac1x$ 在 0 附近无限次振荡。

⚠️ 例 19 的方法（找两个趋于 $x_0$ 的数列，函数值极限不同）是判断"极限不存在"的标准手段。

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公式/结论速记卡#

类别	结论
数列极限直观	$n$ 足够大以后，$a_n$ 与 $a$ 的距离要多小有多小
$\varepsilon$–$N$	$\forall\varepsilon>0,\exists N$，$n>N$ 时 $\lvert a_n-a\rvert<\varepsilon$
$\varepsilon$–$\delta$	$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$，$0<\lvert x-x_0\rvert<\delta$ 时 $\lvert f(x)-A\rvert<\varepsilon$
与该点无关	$x\to x_0$ 的极限与 $f(x_0)$ 有无定义、等于多少无关
$q^n$	$\lvert q\rvert<1$ 时 $\to0$；$q=1$ 时 $\to1$；其余发散
子列	两个子列极限不同 ⇒ 原数列发散
无穷远处	$\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0$；$\lim\limits_{x\to+\infty}e^x=+\infty$；$\arctan x\to\pm\frac{\pi}{2}$
极限存在	左极限 = 右极限（$x\to\infty$ 时：$+\infty$ 与 $-\infty$ 处相同）
必分左右	分段函数分界点；含 $\lvert x\rvert$；含 $e^{1/x}$、$\arctan\frac1x$
必会左右极限	$x\to0^{+}$：$e^{1/x}\to+\infty$，$\arctan\frac1x\to\frac{\pi}{2}$；$x\to0^{-}$：$e^{1/x}\to0$，$\arctan\frac1x\to-\frac{\pi}{2}$
性质	唯一性；收敛必有界（有界不一定收敛）；保号性（逆向只得 $\ge$）
判断不存在	左右不等；或找两条路径极限不同（如 $\sin\frac1x$）

自测练习#

1. 求 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n-1}{2n+1}$。

答案与提示

分子分母同除以 $n$：$\dfrac{1-\frac1n}{2+\frac1n}\to\dfrac12$。

2. 对数列 $a_n=\dfrac{1}{n^2}$ 和 $\varepsilon=0.0001$，找出一个 $N$，使 $n>N$ 时 $\lvert a_n-0\rvert<\varepsilon$。

答案与提示

$\dfrac{1}{n^2}<0.0001\iff n^2>10000\iff n>100$。取 $N=100$。

3. 数列 $a_n=(-1)^n+\dfrac1n$ 是否收敛？

答案与提示

偶数项 $1+\dfrac{1}{2k}\to1$，奇数项 $-1+\dfrac{1}{2k-1}\to-1$。两个子列极限不同，发散。

4. 写出：$\lim\limits_{x\to+\infty}\arctan x$，$\lim\limits_{x\to-\infty}e^x$，$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac12\right)^x$，$\lim\limits_{n\to\infty}\left(-\dfrac23\right)^n$。

答案与提示

$\dfrac{\pi}{2}$；$0$；$0$（底数在 0 和 1 之间的指数函数，右侧趋于 0）；$0$（$\lvert q\rvert=\dfrac23<1$）。

5. 讨论 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\lvert x-1\rvert}{x-1}$。

答案与提示

$x>1$ 时等于 1，右极限 1；$x<1$ 时等于 $-1$，左极限 $-1$。左右不等，极限不存在。

6. 设 $f(x)=\begin{cases}x^2+1, & x<1,\\ ax-1, & x\ge1,\end{cases}$ 且 $\lim\limits_{x\to1}f(x)$ 存在，求 $a$。

答案与提示

左极限 $1+1=2$，右极限 $a-1$。令 $a-1=2$，$a=3$。

7. 讨论 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1+2e^{\frac1x}}{3+e^{\frac1x}}$。

答案与提示

$x\to0^-$：$e^{\frac1x}\to0$，极限 $\dfrac{1}{3}$。$x\to0^+$：分子分母同除以 $e^{\frac1x}$，得 $\dfrac{e^{-\frac1x}+2}{3e^{-\frac1x}+1}\to2$。左右不等，极限不存在。

8.（略提高） 已知 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=-2$，判断 $x$ 在 0 右侧附近和左侧附近时 $f(x)$ 的符号。

答案与提示

由保号性，$x$ 靠近 0 时 $\dfrac{f(x)}{x}<0$，即 $f(x)$ 与 $x$ 异号：$0$ 右侧附近（$x>0$）$f(x)<0$；左侧附近（$x<0$）$f(x)>0$。

下一讲预告#

第 02 讲（中）开始真正"算"极限：四则运算法则、$\dfrac00$ 型的三板斧、夹逼准则和单调有界准则。