考研数学二·零基础讲义 第01讲（下）｜必备中学公式

考研数学二·零基础讲义 · 第 01 讲（下）｜必备中学公式

学完本篇，你手里会有一套完整的"中学工具箱"：乘法公式与因式分解、指数对数、三角函数全套、反三角、一元二次方程与不等式、数列求和（含裂项相消）、常用不等式，并会在具体计算中用它们。预计用时：3–4 小时（公式多，建议分两天，以后反复查）。

本讲地图#

• 乘法公式与因式分解：求极限"约零因子"、有理化的基础（第 02 讲）。
• 指数与对数：特别是 $u^v=e^{v\ln u}$，处理幂指函数的万能钥匙（第 02、03 讲）。
• 三角函数全套：特殊角、同角关系、诱导、和差、二倍角与降幂——积分里天天用（第 09、10 讲）。
• 反三角函数：值域与常用关系。
• 三角恒等变形与万能公式：为第 09 讲三角函数积分做准备。
• 方程、不等式、数列求和、常用不等式：夹逼准则放缩、定积分定义都要用。
• 大纲没有单独列"中学公式"，但几乎每道题都会用到；不熟会处处卡壳。

前置知识#

函数、定义域、基本初等函数的图像：见第 01 讲（上）（中）。

---

一、必备中学公式#

大白话：公式就像厨房里的刀具。不必一次全部背熟，但要知道每把刀放在哪、切什么。做题遇到卡壳，回来查；同一个公式查过三次，自然就记住了。下面每一组公式后面都有例题，先自己算再看解答。

1.1 乘法公式与因式分解#

$$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2,\qquad a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ $$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

更一般地，$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})$，求极限"约掉零因子"时常用。

⚠️ 立方差的第二个括号是 $a^2+ab+b^2$，不是 $(a+b)^2$。

1.2 指数与对数运算#

指数（$a>0$）：

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\quad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad a^{-n}=\frac{1}{a^n},\quad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},\quad a^0=1$$

对数（$a>0,a\ne1$，$M,N>0$）：

$$\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN,\quad \log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN,\quad \log_aM^k=k\log_aM$$ $$\log_ab=\frac{\ln b}{\ln a}\ (\text{换底公式}),\qquad a^{\log_a N}=N,\qquad \log_a1=0,\ \log_aa=1$$

考研最常用的一个恒等式（第 02、03 讲处理幂指函数要用）：

$$u^v=e^{v\ln u}\quad(u>0).$$

例 1　计算 $\log_28+\lg100-\ln e^3$。

解：$\log_28=\log_22^3=3$；$\lg100=\lg10^2=2$；$\ln e^3=3$。结果 $3+2-3=2$。

⚠️ $\ln(M+N)\ne\ln M+\ln N$；$\ln(MN)=\ln M+\ln N$ 才对。

1.3 三角函数#

特殊角的值：

角	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$
角度	0°	30°	45°	60°	90°	180°
$\sin$	$0$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$	$0$
$\cos$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac12$	$0$	$-1$
$\tan$	$0$	$\frac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$	不存在	$0$

弧度与角度：$\pi$ 弧度 $=180°$。

图 1：单位圆里看三角函数：点 P 的横坐标是 cos x，纵坐标是 sin x，过 (1,0) 的竖直切线上截出的长度是 tan x（图中 x = 40°）

同角关系：

$$\sin^2x+\cos^2x=1,\qquad 1+\tan^2x=\sec^2x,\qquad 1+\cot^2x=\csc^2x,\qquad \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

诱导公式口诀："奇变偶不变，符号看象限"。常用的几条：

$$\sin(-x)=-\sin x,\quad \cos(-x)=\cos x,\quad \sin(\pi-x)=\sin x,\quad \cos(\pi-x)=-\cos x$$ $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\quad \sin(\pi+x)=-\sin x,\quad \cos(\pi+x)=-\cos x$$

和差角公式：

$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\qquad \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$ $$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$$

二倍角与降幂公式（积分里天天用）：

$$\sin2x=2\sin x\cos x,\qquad \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$$ $$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2},\qquad \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2},\qquad 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$

积化和差（了解，积分偶尔用）：

$$\sin\alpha\cos\beta=\frac12\left[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right]$$

辅助角公式：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi)$，其中 $\tan\varphi=\dfrac{b}{a}$（$a>0$）。例如 $\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$。

例 2　求 $\sin75^\circ$。

解：

第一步，拆成特殊角：$75^\circ=45^\circ+30^\circ$。

第二步，用和角公式：

$$\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

⚠️ $\sin2x\ne2\sin x$；$\sin(\alpha+\beta)\ne\sin\alpha+\sin\beta$。

1.4 反三角函数常用关系#

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}\ (-1\le x\le1),\qquad \arctan x+\operatorname{arccot}x=\frac{\pi}{2}$$ $$\arcsin(-x)=-\arcsin x,\quad \arctan(-x)=-\arctan x,\quad \arccos(-x)=\pi-\arccos x$$

1.5 一元二次方程与不等式#

方程 $ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）：

• 判别式 $\Delta=b^2-4ac$：$\Delta>0$ 两个不等实根，$\Delta=0$ 两个相等实根，$\Delta<0$ 无实根。
• 求根公式：$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
• 韦达定理：$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。

例 3　解不等式 $x^2-5x+6<0$。

解：

第一步，因式分解：$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$。

第二步，两根为 2 和 3，抛物线开口向上，"小于 0"取两根之间。

所以解集为 $(2,3)$。

图 2：例 3 的图：抛物线在两根 2 和 3 之间位于 x 轴下方，所以不等式的解集是 $(2,3)$

口诀：开口向上时，"大于 0 取两边，小于 0 取中间"。

1.6 等差、等比数列求和#

• 等差数列（公差 $d$）：$a_n=a_1+(n-1)d$，$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$。
• 等比数列（公比 $q\ne1$）：$a_n=a_1q^{n-1}$，$S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
• 几个常用和：

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2},\qquad 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2,\qquad 1+\frac12+\frac14+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$$

这些和在第 02 讲夹逼准则、第 10 讲定积分定义里都会用到。

⚠️ 等比求和公式要求 $q\ne1$；$q=1$ 时 $S_n=na_1$。

1.7 常用不等式#

• 绝对值三角不等式：$\lvert a+b\rvert\le\lvert a\rvert+\lvert b\rvert$，$\big\lvert\lvert a\rvert-\lvert b\rvert\big\rvert\le\lvert a-b\rvert$。
• 均值不等式：$a,b>0$ 时 $\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$，等号当且仅当 $a=b$；特别地 $x>0$ 时 $x+\dfrac1x\ge2$。
• $a^2+b^2\ge2ab$（对任意实数）。
• 后面常用（先认识，证明在学了导数之后）：

$$\lvert\sin x\rvert\le\lvert x\rvert,\qquad e^x\ge1+x,\qquad \ln(1+x)\le x\ (x>-1)$$

例 4　求 $y=x+\dfrac4x$（$x>0$）的最小值。

解：

第一步，均值不等式：$x+\dfrac4x\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac4x}=2\sqrt4=4$。

第二步，等号成立条件：$x=\dfrac4x$，即 $x^2=4$，$x=2$（$x>0$）。

所以最小值为 4，在 $x=2$ 处取到。

⚠️ 用均值不等式求最值，"一正二定三相等"：两项都为正、乘积为定值、等号能取到，缺一不可。

---

二、公式综合例题#

2.1 因式分解与指数运算#

例 5　因式分解 $x^3-8$，并化简 $\dfrac{x^3-8}{x-2}$（$x\ne2$）。

解：

第一步，$x^3-8=x^3-2^3$，用立方差：$(x-2)(x^2+2x+4)$。

第二步，约去 $x-2$：$\dfrac{x^3-8}{x-2}=x^2+2x+4$。

（第 02 讲（中）求 $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^3-8}{x-2}$ 时就是这样约掉零因子，结果为 $4+4+4=12$。）

例 6　计算 $8^{\frac23}$、$\left(\dfrac{1}{27}\right)^{-\frac13}$、$e^{2\ln3}$。

解：

• $8^{\frac23}=\left(8^{\frac13}\right)^2=2^2=4$。
• $\left(\dfrac{1}{27}\right)^{-\frac13}=27^{\frac13}=3$（负指数先取倒数）。
• $e^{2\ln3}=e^{\ln3^2}=e^{\ln9}=9$（用 $k\ln a=\ln a^k$ 和 $e^{\ln N}=N$）。

例 7　把 $x^x$（$x>0$）写成以 $e$ 为底的形式。

解：由 $u^v=e^{v\ln u}$，$x^x=e^{x\ln x}$。这一步在第 03 讲、第 05 讲处理"底和指数都含 $x$"的函数时必用。

2.2 三角函数求值与化简#

例 8　已知 $\sin\alpha=\dfrac35$，$\alpha$ 在第二象限，求 $\cos\alpha$、$\tan\alpha$、$\sin2\alpha$、$\cos2\alpha$。

解：

第一步，由 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$：$\cos^2\alpha=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$。第二象限余弦为负，$\cos\alpha=-\dfrac45$。

第二步，$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac34$。

第三步，$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\dfrac35\cdot\left(-\dfrac45\right)=-\dfrac{24}{25}$。

第四步，$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-\dfrac{18}{25}=\dfrac{7}{25}$。

例 9　化简 $\dfrac{1-\cos2x}{\sin2x}$。

解：

第一步，分子用降幂公式：$1-\cos2x=2\sin^2x$。

第二步，分母用二倍角：$\sin2x=2\sin x\cos x$。

第三步，$\dfrac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x$。

例 10　求 $\cos\dfrac{\pi}{12}$（即 $\cos15^\circ$）。

解：$\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$。

2.3 方程与不等式#

例 11　解不等式 $\lvert x-1\rvert<2$。

解：

第一步，$\lvert A\rvert<2$ 等价于 $-2<A<2$。

第二步，$-2<x-1<2$，三边加 1：$-1<x<3$。解集 $(-1,3)$。

几何意义：数轴上到 1 的距离小于 2 的点。这种写法在第 02 讲极限定义里反复出现（$\lvert x-x_0\rvert<\delta$）。

例 12　已知方程 $x^2-3x+1=0$ 的两根为 $x_1,x_2$，求 $x_1^2+x_2^2$。

解：

第一步，韦达定理：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=1$。

第二步，$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9-2=7$。

例 13　已知 $x>0$，$y>0$，$x+y=1$，求 $xy$ 的最大值。

解：

第一步，均值不等式：$\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}{2}=\dfrac12$。

第二步，两边平方：$xy\le\dfrac14$，当 $x=y=\dfrac12$ 时取等号。最大值为 $\dfrac14$。

2.4 易错点 ⚠️#

• ⚠️ 已知一个三角函数值求其他值时，先定象限再定符号。
• ⚠️ $\lvert x-1\rvert<2$ 不能写成 $x-1<\pm2$。

---

三、裂项相消求和#

3.1 大白话#

有些和式，每一项都能拆成"前一个减后一个"。加起来时中间的项像多米诺骨牌一样两两抵消，只剩头和尾。

3.2 公式#

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac1k-\frac{1}{k+1},\qquad \frac{1}{k(k+2)}=\frac12\left(\frac1k-\frac{1}{k+2}\right)$$

一般地，$\dfrac{1}{(k+a)(k+b)}=\dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{k+a}-\dfrac{1}{k+b}\right)$（$a\ne b$）。

3.3 逐行拆解#

• 为什么成立？右边通分：$\dfrac1k-\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k(k+1)}$。
• 系数 $\dfrac{1}{b-a}$ 是"两个因式的差"的倒数，用来把通分后多出来的倍数抵掉。

3.4 例题#

例 14　求 $S_n=\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}$。

解：

第一步，每项裂开：$S_n=\left(1-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\cdots+\left(\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}\right)$。

第二步，中间 $-\dfrac12$ 与 $+\dfrac12$、$-\dfrac13$ 与 $+\dfrac13$……全部抵消，只剩首尾。

第三步，$S_n=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$。

（第 02 讲会看到：$n\to\infty$ 时 $S_n\to1$。）

例 15　求 $\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{2\cdot4}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\dfrac{1}{4\cdot6}$。

解：

第一步，$\dfrac{1}{k(k+2)}=\dfrac12\left(\dfrac1k-\dfrac{1}{k+2}\right)$，$k=1,2,3,4$。

第二步，求和：$\dfrac12\left[\left(1-\dfrac13\right)+\left(\dfrac12-\dfrac14\right)+\left(\dfrac13-\dfrac15\right)+\left(\dfrac14-\dfrac16\right)\right]$。

第三步，抵消后剩 $\dfrac12\left(1+\dfrac12-\dfrac15-\dfrac16\right)=\dfrac12\cdot\dfrac{30+15-6-5}{30}=\dfrac12\cdot\dfrac{34}{30}=\dfrac{17}{30}$。

3.5 易错点 ⚠️#

• ⚠️ 跨度为 2 时（$k$ 与 $k+2$），会剩下前两项和后两项，别只留一头一尾。
• ⚠️ 别忘了前面的系数 $\dfrac12$。

---

四、三角恒等变形专项与万能公式#

4.1 大白话#

三角式子的"变形"像拼七巧板：同一块板子能拼成不同形状。积分题（第 09、10 讲）里常常要把一个难看的三角式子变成好算的样子。常用的四个动作是：降幂（平方变二倍角）、升幂（二倍角变平方）、切化弦（$\tan,\cot$ 写成 $\sin,\cos$）、凑二倍角（$\sin x\cos x=\frac12\sin2x$）。

4.2 万能公式（正式表述）#

令 $t=\tan\dfrac x2$，则

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \tan x=\frac{2t}{1-t^2}.$$

4.3 逐行拆解#

• "万能"的意思是：任何 $\sin x$、$\cos x$ 的有理式，都能变成 $t$ 的有理式（分式），第 09 讲会用它求"三角有理式的积分"。
• 推导：$\sin x=2\sin\frac x2\cos\frac x2=\dfrac{2\sin\frac x2\cos\frac x2}{\sin^2\frac x2+\cos^2\frac x2}$，分子分母同除以 $\cos^2\frac x2$ 就得到 $\dfrac{2t}{1+t^2}$。这里用了"把 1 写成 $\sin^2+\cos^2$"的技巧，很常用。
• 三倍角公式（了解）：$\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$。

4.4 例题#

例 16　化简 $\sin^4x-\cos^4x$。

解：

第一步，看成平方差：$\sin^4x-\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^2x-\cos^2x)$。

第二步，第一个括号等于 1。

第三步，第二个括号 $=-(\cos^2x-\sin^2x)=-\cos2x$。

所以结果为 $-\cos2x$。

例 17　化简 $\sin x\cos x\cos2x$。

解：

第一步，凑二倍角：$\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x$，原式 $=\dfrac12\sin2x\cos2x$。

第二步，再凑一次：$\sin2x\cos2x=\dfrac12\sin4x$。

所以原式 $=\dfrac14\sin4x$。

例 18　证明 $\tan x+\cot x=\dfrac{2}{\sin2x}$。

解：

第一步，切化弦：$\tan x+\cot x=\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}$。

第二步，通分：$=\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\dfrac{1}{\sin x\cos x}$。

第三步，$\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x$，所以 $=\dfrac{2}{\sin2x}$。

例 19　用二倍角公式求 $\tan\dfrac{\pi}{8}$。

解：

第一步，设 $t=\tan\dfrac{\pi}{8}>0$，由 $\tan\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{2t}{1-t^2}=1$。

第二步，$2t=1-t^2$，即 $t^2+2t-1=0$，$t=-1\pm\sqrt2$。

第三步，$t>0$，取 $t=\sqrt2-1$。

例 20　证明 $\dfrac{1+\cos x}{\sin x}=\cot\dfrac x2$。

解：

第一步，分子升幂：$1+\cos x=2\cos^2\dfrac x2$。

第二步，分母用二倍角：$\sin x=2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2$。

第三步，相除：$\dfrac{2\cos^2\frac x2}{2\sin\frac x2\cos\frac x2}=\dfrac{\cos\frac x2}{\sin\frac x2}=\cot\dfrac x2$。

4.5 易错点 ⚠️#

• ⚠️ 降幂时角度翻倍（$\sin^2x\to\cos2x$），升幂时角度减半（$1+\cos x\to\cos^2\frac x2$），方向别弄反。
• ⚠️ 解出 $\tan$ 的两个值时，用角所在的象限确定符号。

---

公式/结论速记卡#

主题	要点
立方差/和	$a^3\mp b^3=(a\mp b)(a^2\pm ab+b^2)$
$n$ 次方差	$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})$
指数	$a^ma^n=a^{m+n}$；$(a^m)^n=a^{mn}$；$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$；$a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$
对数	$\ln(MN)=\ln M+\ln N$；$\ln M^k=k\ln M$；换底 $\log_ab=\frac{\ln b}{\ln a}$；$e^{\ln N}=N$
幂指转换	$u^v=e^{v\ln u}$
同角	$\sin^2x+\cos^2x=1$；$1+\tan^2x=\sec^2x$；$1+\cot^2x=\csc^2x$
二倍角	$\sin2x=2\sin x\cos x$；$\cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$
降幂	$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$；$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$；$1-\cos x=2\sin^2\frac x2$
和差	$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$；$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
反三角	$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$；$\arccos(-x)=\pi-\arccos x$
二次方程	$\Delta=b^2-4ac$；韦达 $x_1+x_2=-\frac ba$，$x_1x_2=\frac ca$
二次不等式	开口向上：大于 0 取两边，小于 0 取中间
求和	$\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$；$\sum k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$；等比 $\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$
裂项	$\frac{1}{k(k+1)}=\frac1k-\frac{1}{k+1}$
万能公式	$t=\tan\frac x2$：$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$，$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
变形四招	降幂、升幂、切化弦、凑二倍角（$\sin x\cos x=\frac12\sin2x$）
不等式	$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$；$\lvert a+b\rvert\le\lvert a\rvert+\lvert b\rvert$；$\lvert\sin x\rvert\le\lvert x\rvert$；$e^x\ge1+x$；$\ln(1+x)\le x$

自测练习#

1. 因式分解：(1) $x^3+27$；(2) $x^4-1$。

答案与提示

(1) $(x+3)(x^2-3x+9)$。(2) $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$。

2. 计算 $27^{\frac23}+\log_3\dfrac19-e^{\ln5}$。

答案与提示

$27^{\frac23}=3^2=9$；$\log_3\dfrac19=\log_33^{-2}=-2$；$e^{\ln5}=5$。结果 $9-2-5=2$。

3. 已知 $\cos\alpha=-\dfrac12$，$\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$，求 $\sin\alpha$、$\tan\alpha$、$\sin2\alpha$。

答案与提示

$\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac14}=\dfrac{\sqrt3}{2}$（第二象限正弦为正）；$\tan\alpha=-\sqrt3$；$\sin2\alpha=2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$。

4. 化简 $\dfrac{\sin2x}{1+\cos2x}$。

答案与提示

$1+\cos2x=2\cos^2x$，$\sin2x=2\sin x\cos x$，结果 $\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x$。

5. 解不等式 $2x^2-x-1\ge0$。

答案与提示

$(2x+1)(x-1)\ge0$，两根 $-\dfrac12$ 和 1，开口向上取两边：$x\le-\dfrac12$ 或 $x\ge1$。

6. 求 $\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$。

答案与提示

$\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac12\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)$。求和抵消后剩 $\dfrac12\left(1-\dfrac{1}{2n+1}\right)=\dfrac{n}{2n+1}$。

7. 计算 $1^2+2^2+\cdots+10^2$。

答案与提示

$\dfrac{10\times11\times21}{6}=385$。

8.（略提高） 设 $x>1$，求 $x+\dfrac{1}{x-1}$ 的最小值。

答案与提示

凑成"正数 + 它的倒数"：$x+\dfrac{1}{x-1}=(x-1)+\dfrac{1}{x-1}+1\ge2+1=3$，当 $x-1=1$ 即 $x=2$ 时取等号。最小值为 3。

下一讲预告#

第 02 讲（上）正式进入微积分：什么叫"无限接近"，数列极限、函数极限、左右极限和极限的性质。