考研数学二·零基础讲义 第01讲（中）｜复合函数、反函数、分段函数与基本初等函数

考研数学二·零基础讲义 · 第 01 讲（中）｜复合函数、反函数、分段函数与基本初等函数

学完本篇，你会做复合与拆复合、求复合函数定义域、求反函数，会处理分段函数和取整函数，认得六类基本初等函数的图像与性质，会用平移、伸缩、对称、翻折画出新图像。预计用时：2–3 小时。

本讲地图#

• 复合函数：串起来的两台机器；会"合"也会"拆"（第 06 讲复合函数求导全靠"拆"）。大纲要求：理解。
• 反函数：倒着用机器，图像关于 $y=x$ 对称。大纲要求：了解。
• 分段函数与隐函数：分段函数是考研极限、连续、可导题的"常客"。大纲要求：理解分段函数，了解隐函数。
• 六类基本初等函数：常数、幂、指数、对数、三角、反三角。大纲要求：掌握性质及图形。
• 图像变换：平移、伸缩、对称、翻折，用已知图像画新图像。
• 考研怎么考：反三角函数的值域、$e^{1/x}$ 和 $\arctan x$ 的图像特点，常在极限题里"埋雷"（第 02 讲（上））。

前置知识#

• 函数的概念、定义域、奇偶性、单调性：见第 01 讲（上）。
• 解简单的方程和不等式；指数、对数、三角公式不熟时可边学边翻第 01 讲（下）。

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一、复合函数、反函数、分段函数#

1.1 复合函数#

大白话：两台机器串起来，第一台的输出直接喂给第二台。比如先把苹果榨成汁（$u=g(x)$），再把汁做成冰沙（$y=f(u)$）。

定义：若 $y=f(u)$，$u=g(x)$，且 $g(x)$ 的值落在 $f$ 的定义域内，则 $y=f[g(x)]$ 称为复合函数，$u$ 叫中间变量。

例 1　设 $f(x)=x^2+1$，$g(x)=\sin x$，求 $f[g(x)]$、$g[f(x)]$、$f[f(x)]$。

解：

• $f[g(x)]$：把 $f$ 里的 $x$ 换成 $\sin x$，得 $\sin^2x+1$。
• $g[f(x)]$：把 $g$ 里的 $x$ 换成 $x^2+1$，得 $\sin(x^2+1)$。
• $f[f(x)]$：把 $f$ 里的 $x$ 换成 $x^2+1$，得 $(x^2+1)^2+1=x^4+2x^2+2$。

⚠️ $f[g(x)]$ 和 $g[f(x)]$ 一般不相等，顺序很重要。

拆复合（第 06 讲求导会大量用到）：$y=\sin^2(3x+1)$ 可以拆成 $y=u^2$，$u=\sin v$，$v=3x+1$。从外往里一层层剥。

1.2 反函数#

大白话：反函数就是"倒着用机器"：已知输出，反推输入。

定义：若 $y=f(x)$ 的每个 $y$ 都只对应一个 $x$（一一对应），则由 $y$ 反解出 $x=f^{-1}(y)$，习惯上把字母互换，写成 $y=f^{-1}(x)$，称为反函数。

逐行拆解：$f^{-1}$ 读作"f 逆"，不是 $\dfrac1f$。反函数与原函数的图像关于直线 $y=x$ 对称；原函数的定义域是反函数的值域，反过来也一样。

图 1：函数与反函数关于 $y=x$ 对称：$y=e^x$ 过 $(0,1)$，它的反函数 $y=\ln x$ 就过 $(1,0)$

求反函数三步：① 从 $y=f(x)$ 解出 $x$；② 交换 $x,y$；③ 写出反函数的定义域（= 原函数的值域）。

例 2　求 $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ 的反函数。

解：

第一步，两边乘 $(x-1)$：$y(x-1)=2x+1$，即 $xy-y=2x+1$。

第二步，把含 $x$ 的项移到一边：$xy-2x=y+1$，提出 $x$：$x(y-2)=y+1$。

第三步，$x=\dfrac{y+1}{y-2}$（$y\ne2$）。

第四步，交换字母：反函数为 $y=\dfrac{x+1}{x-2}$，$x\ne2$。

⚠️ 单调函数一定有反函数；不单调的函数（如 $y=x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上）没有反函数，要限制在单调区间上才行。

1.3 分段函数#

大白话：像阶梯电价，不同用电量用不同的算法。

例 3　设

$$f(x)=\begin{cases}x+1, & x<0,\\ x^2, & x\ge0,\end{cases}$$

求 $f(-2)$、$f(3)$、$f[f(-1)]$、$f[f(-3)]$。

解：

• $-2<0$，用第一段：$f(-2)=-2+1=-1$。
• $3\ge0$，用第二段：$f(3)=9$。
• 先算里面：$f(-1)=-1+1=0$；再算外面：$f(0)=0^2=0$。所以 $f[f(-1)]=0$。
• $f(-3)=-2$；$f(-2)=-1$。所以 $f[f(-3)]=-1$。

⚠️ 分段函数代值前先看 $x$ 落在哪一段，尤其是分界点（这里 $x=0$ 属于第二段）。分段函数在分界点处的极限、连续、可导是考研高频考点（第 02、04、05 讲）。

两个常见分段函数：绝对值 $\lvert x\rvert$（$x\ge0$ 时为 $x$，$x<0$ 时为 $-x$）；符号函数 $\operatorname{sgn}x$（正数取 1，零取 0，负数取 $-1$）。

1.4 更多例题：复合、反函数、分段、隐函数#

例 4（复合函数的定义域）　设 $f(x)=\sqrt x$，$g(x)=1-x^2$，求 $f[g(x)]$ 及其定义域。

解：

第一步，$f[g(x)]=\sqrt{1-x^2}$。

第二步，复合时要求 $g(x)$ 落在 $f$ 的定义域里：$1-x^2\ge0$，即 $-1\le x\le1$。

所以定义域为 $[-1,1]$。

例 5（抽象函数的定义域）　已知 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，求 $f(x^2)$ 和 $f(\ln x)$ 的定义域。

解：

第一步，"括号里的整体"必须落在 $[0,1]$ 中。

第二步，$f(x^2)$：$0\le x^2\le1$，得 $-1\le x\le1$，定义域 $[-1,1]$。

第三步，$f(\ln x)$：$0\le\ln x\le1$，即 $\ln1\le\ln x\le\ln e$，由 $\ln x$ 单调递增得 $1\le x\le e$，定义域 $[1,e]$。

复合函数的单调性："同增异减"：内外两层单调性相同，复合后递增；相反，复合后递减。

例 6　求 $y=\ln(x^2-2x-3)$ 的单调区间。

解：

第一步，定义域：$x^2-2x-3>0$，$(x-3)(x+1)>0$，得 $x<-1$ 或 $x>3$。

第二步，拆成外层 $y=\ln u$（递增）和内层 $u=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$（在 $x>1$ 时递增，$x<1$ 时递减）。

第三步，在 $(3,+\infty)$ 上：内层增、外层增，同增，递增。

第四步，在 $(-\infty,-1)$ 上：内层减、外层增，异减，递减。

⚠️ 单调区间必须在定义域之内，不能写成 $(1,+\infty)$。

例 7　求 $y=e^x+1$ 的反函数，以及 $y=x^2\ (x\le0)$ 的反函数。

解：

第一步，$y=e^x+1$：$e^x=y-1$，$x=\ln(y-1)$。原函数值域是 $(1,+\infty)$，所以反函数 $y=\ln(x-1)$，$x>1$。

第二步，$y=x^2\ (x\le0)$：$x^2=y$，$x=\pm\sqrt y$。因为 $x\le0$，取负号 $x=-\sqrt y$。交换字母：反函数 $y=-\sqrt x$，$x\ge0$。

⚠️ 开平方时要根据原函数的定义域决定取正号还是负号。

取整函数 $[x]$：表示"不超过 $x$ 的最大整数"，读作"x 取整"。例如 $[2.5]=2$，$[3]=3$，$[-1.5]=-2$（不超过 $-1.5$ 的最大整数是 $-2$，不是 $-1$）。它满足

$$x-1<[x]\le x,$$

这个不等式在第 02 讲（中）夹逼准则里会用到。它的图像像一级一级的台阶，在每个整数处"跳一下"。

例 8　求 $[\pi]$、$[-0.5]$，并解方程 $[x]=2$。

解：$\pi\approx3.14$，$[\pi]=3$；不超过 $-0.5$ 的最大整数是 $-1$，$[-0.5]=-1$。$[x]=2$ 表示 $2\le x<3$，解集为 $[2,3)$。

隐函数（了解）：$y$ 没有被"写成 $y=$ 某式子"，而是藏在一个方程里，比如 $x^2+y^2=1$、$e^y+xy=e$。只要这个方程能确定 $y$ 随 $x$ 变化，就叫隐函数。有的能解出来（$x^2+y^2=1$ 在 $y\ge0$ 部分就是 $y=\sqrt{1-x^2}$），有的解不出来（$e^y+xy=e$）。解不出来也没关系，第 06 讲会教你直接对方程求导。

例 9（建立函数关系）　用长为 20 的铁丝围成一个矩形，设一边长为 $x$，把面积 $S$ 写成 $x$ 的函数并求定义域。

解：

第一步，另一边长为 $\dfrac{20-2x}{2}=10-x$。

第二步，$S=x(10-x)=10x-x^2$。

第三步，两边都要为正：$x>0$ 且 $10-x>0$。定义域为 $(0,10)$。

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二、六类基本初等函数#

2.1 大白话#

后面所有复杂函数，都是用这几类"积木"通过加减乘除和复合搭出来的。由基本初等函数经有限次四则运算和复合得到、能用一个式子表示的函数，叫初等函数。

2.2 逐类看图像与性质（文字描述）#

① 常数函数 $y=C$：一条水平直线。

② 幂函数 $y=x^{\mu}$（$\mu$ 读"缪"，是常数）

• $y=x$：过原点的 45° 直线。
• $y=x^2$：开口向上的抛物线，顶点在原点，偶函数。
• $y=x^3$：过原点，从左下到右上，奇函数，单调递增。
• $y=\sqrt{x}=x^{1/2}$：只在 $x\ge0$ 有定义，从原点出发向右上缓慢上升。
• $y=\dfrac1x=x^{-1}$：双曲线，两支分别在第一、三象限，奇函数，以两条坐标轴为渐近线。
• 规律：所有幂函数都过点 $(1,1)$。

图 2：常见幂函数放在一起看：它们都过点 $(1,1)$

③ 指数函数 $y=a^x$（$a>0$，$a\ne1$）

• 定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(0,+\infty)$，图像都在 $x$ 轴上方，都过 $(0,1)$。
• $a>1$ 时单调递增（如 $e^x$，$e\approx2.718$）；$0<a<1$ 时单调递减。
• 左端（$a>1$ 时）无限贴近 $x$ 轴但不碰到。

④ 对数函数 $y=\log_a x$（$a>0$，$a\ne1$）

• 是指数函数的反函数，图像与 $y=a^x$ 关于 $y=x$ 对称。
• 定义域 $(0,+\infty)$，值域 $\mathbb{R}$，都过 $(1,0)$。
• $a>1$ 时递增；常用 $\ln x=\log_e x$（自然对数），$\lg x=\log_{10}x$。
• 靠近 $x=0$ 时（$a>1$）向下无限延伸。

⑤ 三角函数

• $y=\sin x$：定义域 $\mathbb{R}$，值域 $[-1,1]$，周期 $2\pi$，奇函数，过原点的波浪线，在 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 处取最大值 1。
• $y=\cos x$：值域 $[-1,1]$，周期 $2\pi$，偶函数，在 $x=0$ 处取最大值 1，是把 $\sin x$ 向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$。
• $y=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$：$x\ne k\pi+\dfrac{\pi}{2}$，值域 $\mathbb{R}$，周期 $\pi$，奇函数，在每个 $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增，两侧有竖直渐近线。
• $y=\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$，$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$（读"正割"），$\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$（读"余割"）。考研求导、积分常用 $\sec x$、$\csc x$，要认得。

⑥ 反三角函数

函数	定义域	值域（主值）	单调性	奇偶
$y=\arcsin x$	$[-1,1]$	$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$	递增	奇
$y=\arccos x$	$[-1,1]$	$[0,\pi]$	递减	非奇非偶
$y=\arctan x$	$\mathbb{R}$	$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$	递增	奇

$\arctan x$ 的图像有两条水平渐近线 $y=\pm\dfrac{\pi}{2}$，这在求极限时很常用（第 02 讲）。

图 3：三角函数与反三角函数的图像：重点记住 $\sin x$ 过原点、$\cos x$ 在 0 处最高、$\tan x$ 周期为 π；$\arctan x$ 被夹在 $\pm\dfrac{\pi}{2}$ 之间

2.3 例题#

例 10　求 $\arcsin\dfrac12$、$\arccos\left(-\dfrac12\right)$、$\arctan(-1)$、$\arcsin\left(\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)$。

解：

• $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$，且 $\dfrac{\pi}{6}\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$，所以 $\arcsin\dfrac12=\dfrac{\pi}{6}$。
• $\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac12$，且 $\dfrac{2\pi}{3}\in[0,\pi]$，所以 $\arccos\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{2\pi}{3}$。
• $\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$，所以 $\arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}$。
• $\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac12$，所以 $\arcsin\left(\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)=\arcsin\dfrac12=\dfrac{\pi}{6}$。

⚠️ 最后一个不等于 $\dfrac{5\pi}{6}$，因为 $\arcsin$ 的值必须落在 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ 里。

2.4 更多例题：利用图像和单调性比大小#

例 11　比较 $a=2^{0.3}$、$b=0.3^2$、$c=\log_20.3$ 的大小。

解：

第一步，找"中间量" 0 和 1。

第二步，$2^{0.3}$：指数函数 $2^x$ 递增，$0.3>0$，所以 $2^{0.3}>2^0=1$，即 $a>1$。

第三步，$0.3^2=0.09$，在 0 和 1 之间。

第四步，$\log_20.3$：$\log_2x$ 递增，$0.3<1$，所以 $\log_20.3<\log_21=0$，即 $c<0$。

所以 $c<b<a$。

例 12　求 $\arccos\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}\right)$。

解：

第一步，$\cos\dfrac{4\pi}{3}=\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac12$。

第二步，$\arccos\left(-\dfrac12\right)$ 要在 $[0,\pi]$ 中找余弦为 $-\dfrac12$ 的角：$\dfrac{2\pi}{3}$。

所以结果为 $\dfrac{2\pi}{3}$，不是 $\dfrac{4\pi}{3}$。

例 13　从图像说出 $x\to+\infty$ 和 $x\to-\infty$ 时 $e^x$、$\arctan x$ 的走向。

解：

• $e^x$：右边一路冲上天（$x\to+\infty$ 时 $e^x\to+\infty$），左边贴着 $x$ 轴（$x\to-\infty$ 时 $e^x\to0$）。
• $\arctan x$：右边贴近 $y=\dfrac{\pi}{2}$，左边贴近 $y=-\dfrac{\pi}{2}$。

这两个"左右不一样"的特点，正是第 02 讲求极限时必须分 $+\infty$ 和 $-\infty$ 讨论的原因。

⚠️ 比大小时先找 0、1 这样的"中间量"，再用单调性。

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三、图像变换#

3.1 大白话#

不用每个函数都从头描点画图。拿一张已知的图（比如 $y=x^2$），像在电脑上拖动图片一样：平移、拉伸、镜像、翻折，就能得到一大批新函数的图像。

3.2 规则#

设已知 $y=f(x)$ 的图像，$a>0$：

新函数	图像怎么变	口诀
$y=f(x+a)$	向左平移 $a$	左加
$y=f(x-a)$	向右平移 $a$	右减
$y=f(x)+a$	向上平移 $a$	上加
$y=f(x)-a$	向下平移 $a$	下减
$y=f(-x)$	关于 $y$ 轴对称	左右镜像
$y=-f(x)$	关于 $x$ 轴对称	上下镜像
$y=\lvert f(x)\rvert$	$x$ 轴下方的部分翻到上方	下翻上
$y=f(\lvert x\rvert)$	去掉 $y$ 轴左边，把右边镜像到左边	右翻左
$y=f(kx)$（$k>1$）	横向压缩为原来的 $\frac1k$
$y=kf(x)$（$k>1$）	纵向拉伸为原来的 $k$ 倍

3.3 逐行拆解#

• "左加右减"作用在 $x$ 上，"上加下减"作用在整个函数值上。
• $f(x+a)$ 为什么是向左？因为原来在 $x_0$ 处的值，现在在 $x_0-a$ 处就取到了。
• $\lvert f(x)\rvert$ 和 $f(\lvert x\rvert)$ 不一样：前者翻的是"上下"，后者翻的是"左右"。

3.4 例题#

例 14　由 $y=\ln x$ 的图像得到 $y=\ln(x-1)+2$ 的图像，并写出它的定义域和过的一个特殊点。

解：

第一步，$\ln x\to\ln(x-1)$：向右平移 1。定义域从 $(0,+\infty)$ 变为 $(1,+\infty)$，竖直渐近线从 $x=0$ 变为 $x=1$。

第二步，再加 2：向上平移 2。

第三步，原来过 $(1,0)$，现在过 $(1+1,0+2)=(2,2)$。

图 4：例 14 的过程：先"右减"再"上加"，整条曲线连同渐近线一起搬家（动画循环播放）

例 15　描述 $y=\lvert x^2-1\rvert$ 的图像。

解：

第一步，先画 $y=x^2-1$：开口向上的抛物线，顶点 $(0,-1)$，与 $x$ 轴交于 $x=\pm1$。

第二步，在 $-1<x<1$ 之间，图像在 $x$ 轴下方，把这一段翻到上方，变成一个"小拱"，顶点变为 $(0,1)$。

第三步，其余部分不变。图像像一个"W"形，最低点是 $(\pm1,0)$。

例 16　描述 $y=e^{\lvert x\rvert}$ 的图像。

解：

第一步，先画 $y=e^x$ 在 $x\ge0$ 的部分：从 $(0,1)$ 出发向右上升。

第二步，把这部分关于 $y$ 轴镜像到左边。

第三步，得到一个关于 $y$ 轴对称、最低点为 $(0,1)$ 的"V 形圆底"曲线。它是偶函数，在 $x=0$ 处有一个"尖"（第 05 讲会说这里不可导）。

3.5 易错点 ⚠️#

• ⚠️ $y=f(2x+1)$ 的平移量不是 1，而是 $\dfrac12$：$f(2x+1)=f\left(2\left(x+\dfrac12\right)\right)$，先把 $x$ 的系数提出来再看平移。
• ⚠️ 翻折之后会出现"尖点"，这是后面判断不可导点的常见来源。

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四、初等函数#

4.1 大白话#

基本初等函数是"积木"。用积木做加减乘除、做复合（有限次），能写成一个式子的，都叫初等函数。

4.2 定义#

由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成、并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

4.3 逐行拆解与例题#

• 关键词"有限次""一个式子"。
• $y=\sqrt{1-x^2}+\ln(\sin x+2)$：由幂、三角、对数等经四则运算和复合得到，是初等函数。
• $y=\lvert x\rvert$：看起来是分段的，但 $\lvert x\rvert=\sqrt{x^2}$，能写成一个式子，所以是初等函数。
• 一般的分段函数（如本篇例 8 前的取整函数 $[x]$、符号函数 $\operatorname{sgn}x$）不是初等函数。

例 17　判断 $y=e^{\sin^2 x}$ 是由哪些基本初等函数复合而成的。

解：从外往里拆：$y=e^u$，$u=v^2$，$v=\sin x$。三层分别是指数函数、幂函数、三角函数，所以是初等函数。

结论预告：初等函数在其定义区间内都是连续的（第 04 讲），所以求初等函数在定义区间内一点的极限，可以直接代入。

4.4 易错点 ⚠️#

• ⚠️ "分段"不等于"非初等"，要看能不能合成一个式子，$\lvert x\rvert$ 就是例外。

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公式/结论速记卡#

主题	要点
复合	$f[g(x)]$：把 $f$ 中的 $x$ 换成 $g(x)$；$g(x)$ 要落在 $f$ 的定义域内
抽象定义域	$f$ 定义域为 $D$，则 $f(\varphi(x))$ 要求 $\varphi(x)\in D$
同增异减	内外单调性相同则递增，相反则递减；区间要在定义域内
反函数	解出 $x$ → 交换字母 → 定义域 = 原值域；开方按原定义域取号
取整函数	$[x]$ 不超过 $x$ 的最大整数；$x-1<[x]\le x$；$[-1.5]=-2$
幂函数	都过 $(1,1)$；$x^2$ 偶、$x^3$ 奇、$\frac1x$ 双曲线
指数 / 对数	$a^x$ 过 $(0,1)$，值域 $(0,+\infty)$；$\log_ax$ 过 $(1,0)$，定义域 $(0,+\infty)$
三角	$\sin$ 奇、$\cos$ 偶，周期 $2\pi$；$\tan$ 周期 $\pi$
反三角值域	$\arcsin$：$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$；$\arccos$：$[0,\pi]$；$\arctan$：$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
渐近走向	$e^x$：$+\infty$ 处冲上天，$-\infty$ 处 $\to0$；$\arctan x\to\pm\frac{\pi}{2}$
图像变换	左加右减、上加下减；$\lvert f(x)\rvert$ 下翻上；$f(\lvert x\rvert)$ 右翻左
初等函数	有限次四则与复合、一个式子；$\lvert x\rvert=\sqrt{x^2}$ 是初等函数

自测练习#

1. 设 $f(x)=\sqrt x$，$g(x)=x-1$。求 $f[g(x)]$、$g[f(x)]$ 及各自的定义域。

答案与提示

$f[g(x)]=\sqrt{x-1}$，要求 $x-1\ge0$，定义域 $[1,+\infty)$。$g[f(x)]=\sqrt x-1$，定义域 $[0,+\infty)$。

2. 已知 $f(x)$ 的定义域为 $[0,2]$，求 $f(x+1)+f(x-1)$ 的定义域。

答案与提示

$0\le x+1\le2$ 得 $-1\le x\le1$；$0\le x-1\le2$ 得 $1\le x\le3$。两者同时成立，只有 $x=1$。定义域为 $\{1\}$。

3. 求 $y=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ 的反函数。

答案与提示

令 $t=e^x>0$：$2y=t-\dfrac1t$，即 $t^2-2yt-1=0$，$t=y\pm\sqrt{y^2+1}$。因为 $t>0$，取正号：$e^x=y+\sqrt{y^2+1}$，$x=\ln\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)$。反函数 $y=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$，$x\in\mathbb{R}$。

4. 设 $f(x)=\begin{cases}2x, & x<1,\\ x+3, & x\ge1,\end{cases}$ 求 $f\left[f\left(\dfrac14\right)\right]$ 和 $f[f(2)]$。

答案与提示

$f\left(\dfrac14\right)=\dfrac12$，$f\left(\dfrac12\right)=1$，所以 $f\left[f\left(\dfrac14\right)\right]=1$。$f(2)=5$，$f(5)=8$，所以 $f[f(2)]=8$。

5. 求 $y=\ln(4-x^2)$ 的单调区间。

答案与提示

定义域 $(-2,2)$。外层 $\ln u$ 递增；内层 $u=4-x^2$ 在 $(-2,0)$ 递增、在 $(0,2)$ 递减。同增异减：$(-2,0]$ 上递增，$[0,2)$ 上递减。

6. 说明 $y=\sqrt{x+2}-1$ 的图像如何由 $y=\sqrt x$ 得到，并写出定义域和值域。

答案与提示

向左平移 2，再向下平移 1。定义域 $[-2,+\infty)$，值域 $[-1,+\infty)$。

7. 比较 $a=\log_32$、$b=\ln2$、$c=5^{-\frac12}$ 的大小。

答案与提示

$a=\dfrac{\ln2}{\ln3}$，因为 $\ln3>1$，所以 $a<\ln2=b$。又 $c=\dfrac{1}{\sqrt5}<\dfrac12$；而 $a=\log_32>\log_3\sqrt3=\dfrac12$（因为 $2>\sqrt3$）。所以 $c<a<b$。

8. 求 $\arctan\left(\tan\dfrac{3\pi}{4}\right)$ 和 $[-2.3]+[2.3]$。

答案与提示

$\tan\dfrac{3\pi}{4}=-1$，$\arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}$（值必须在 $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ 内）。$[-2.3]=-3$，$[2.3]=2$，和为 $-1$。

下一讲预告#

第 01 讲（下）把必备中学公式一次备齐：乘法公式、指数对数、三角全套、反三角、方程不等式、数列求和与常用不等式。