考研数学二·零基础讲义 第01讲（上）｜函数的概念、定义域与四性

考研数学二·零基础讲义 · 第 01 讲（上）｜函数的概念、定义域与四性

学完本篇，你能看懂函数记号、会代值和换元求 $f(x)$ 的表达式，会求定义域和简单值域，会判断有界性、单调性、奇偶性、周期性。预计用时：2–3 小时。

第 01 讲分三篇：（上）函数的概念与四性；（中）复合函数、反函数、分段函数与基本初等函数；（下）必备中学公式。

本讲地图#

• 函数是什么：一个输入对应唯一一个输出的"规则"；函数两要素是定义域和对应法则。大纲要求：理解函数的概念，掌握函数的表示法。
• 函数记号怎么用：$f(2)$、$f(a+1)$、$f\left(\frac1x\right)$ 代值，以及"已知 $f(x+1)$ 求 $f(x)$"的换元法。
• 定义域与值域：求定义域是每道题的第一步，几种"会出事"的情况要背熟。
• 四性：有界、单调、奇偶、周期。大纲要求：了解；但它们是后面极限、积分题里的常用工具，必须会判断。
• 考研怎么考：一般不单独出大题，但常作为选择题的一个选项，或作为积分、极限题里的"隐藏条件"（比如奇函数在对称区间上的积分为 0，见第 10 讲）。

前置知识#

会做初中的四则运算、会解一元一次方程和简单的一元二次方程即可（不熟的话可先翻第 01 讲（下）的 6.5 节）。符号读法见第 00 讲的符号读音表。

---

一、函数的概念#

1.1 大白话#

把函数想成一台自动售货机：投进一个"输入"（按一个按钮 $x$），出来一个确定的"输出"（一瓶饮料 $y$）。关键在于：同一个按钮，每次出来的都是同一样东西。如果按同一个按钮有时出可乐有时出雪碧，那就不是函数了。

图 1：函数 = 一个输入对应唯一的一个输出。左边两个输入对应同一个输出没问题；右边输入 2 对应两个输出，就不是函数

1.2 正式定义#

设 $D$ 是一个非空实数集。如果对 $D$ 中的每一个 $x$，按照某个对应法则 $f$，都有唯一确定的实数 $y$ 与之对应，就称 $y$ 是 $x$ 的函数，记作

$$y=f(x),\quad x\in D.$$

1.3 逐行拆解#

• $y=f(x)$ 读作"y 等于 f x"。$f$ 是"规则"的名字，$x$ 是输入（自变量），$y$ 是输出（因变量）。
• $x\in D$ 读作"x 属于 D"。$D$ 叫定义域：允许投进去的所有 $x$。
• 所有输出 $y$ 组成的集合叫值域。
• 函数的两个要素：定义域和对应法则。两个函数只有这两样都相同，才是同一个函数。

1.4 例题#

例 1　$f(x)=x$ 和 $g(x)=\dfrac{x^2}{x}$ 是同一个函数吗？

解：

第一步，看定义域。$f(x)=x$ 对所有实数都有意义，定义域是 $\mathbb{R}$。$g(x)=\dfrac{x^2}{x}$ 分母不能为 0，所以 $x\ne0$，定义域是 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。

第二步，定义域不同，所以不是同一个函数（虽然在 $x\ne0$ 时两者的值相等）。

1.5 易错点 ⚠️#

• ⚠️ 化简之前先看定义域。约分会"偷偷"把定义域扩大。

1.6 更多例题：函数记号与"已知 f(x+1) 求 f(x)"#

大白话：$f(\ )$ 像一个"模具"，括号里放什么，就把式子里所有的 $x$ 换成什么。

例 2　设 $f(x)=x^2+1$，求 $f(2)$、$f(a+1)$、$f\left(\dfrac1x\right)$。

解：

第一步，$f(2)$：把 $x$ 换成 2，$f(2)=2^2+1=5$。

第二步，$f(a+1)$：把 $x$ 换成 $a+1$（整体加括号），$f(a+1)=(a+1)^2+1=a^2+2a+1+1=a^2+2a+2$。

第三步，$f\left(\dfrac1x\right)$：把 $x$ 换成 $\dfrac1x$，$f\left(\dfrac1x\right)=\dfrac{1}{x^2}+1$。

例 3　已知 $f(x+1)=x^2+2x+3$，求 $f(x)$。

解：

第一步，换元：令 $t=x+1$，则 $x=t-1$。

第二步，把右边的 $x$ 全部换成 $t-1$：

$$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)+3=t^2-2t+1+2t-2+3=t^2+2.$$

第三步，字母叫什么不重要，把 $t$ 换回 $x$：$f(x)=x^2+2$。

第四步，检验：$f(x+1)=(x+1)^2+2=x^2+2x+3$，对。

例 4　方程 $y^2=x$ 确定的 $y$ 是不是 $x$ 的函数？

解：

第一步，取 $x=4$，则 $y^2=4$，$y=2$ 或 $y=-2$。

第二步，一个 $x$ 对应了两个 $y$，违反"唯一确定"，所以不是函数。

第三步，但如果加上限制 $y\ge0$，就得到函数 $y=\sqrt x$。

函数的三种表示法：解析法（写式子，如 $y=x^2$）、表格法（列一张对应表）、图像法（画在坐标系里）。考研里以解析法为主，但"看图说话"的能力也很重要。

⚠️ 代入时一定要整体加括号：$f(a+1)$ 写成 $a+1^2+1$ 是常见低级错误。

⚠️ 换元后要把所有 $x$ 都换掉，最后再统一改回字母 $x$。

---

二、定义域与值域#

2.1 大白话#

定义域就是"哪些 $x$ 能放进去而不出事"。中学里会"出事"的情况就那么几种，记住它们就会求定义域。

2.2 求定义域的常见限制#

式子里出现	要求
分式 $\dfrac{A}{B}$	分母 $B\ne0$
偶次根式 $\sqrt{A}$	$A\ge0$
对数 $\ln A$、$\log_a A$	真数 $A>0$
$\tan A$	$A\ne k\pi+\dfrac{\pi}{2}$（$k$ 为整数）
$\arcsin A$、$\arccos A$	$-1\le A\le1$

几个条件同时出现时，取它们的交集（同时满足）。

2.3 例题#

例 5　求 $f(x)=\sqrt{4-x^2}+\dfrac{1}{\ln(x+1)}$ 的定义域。

解：

第一步，根号：$4-x^2\ge0$，即 $x^2\le4$，所以 $-2\le x\le2$。

第二步，对数的真数：$x+1>0$，所以 $x>-1$。

第三步，分母不为 0：$\ln(x+1)\ne0$。因为 $\ln1=0$，所以 $x+1\ne1$，即 $x\ne0$。

第四步，取交集：$-1<x\le2$ 且 $x\ne0$。

所以定义域是 $(-1,0)\cup(0,2]$。

例 6　求 $f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$ 的值域。

解：

第一步，$x=0$ 时 $f(0)=0$。

第二步，$x\ne0$ 时，分子分母同除以 $x$：$f(x)=\dfrac{1}{x+\frac{1}{x}}$。

第三步，当 $x>0$ 时，由后面会讲的均值不等式 $x+\dfrac1x\ge2$，得 $0<f(x)\le\dfrac12$，$x=1$ 时取到 $\dfrac12$。

第四步，$f(-x)=-f(x)$（奇函数，见下一节），所以 $x<0$ 时 $-\dfrac12\le f(x)<0$。

所以值域是 $\left[-\dfrac12,\dfrac12\right]$。

2.4 易错点 ⚠️#

• ⚠️ 对数要求真数大于 0，不是大于等于。
• ⚠️ 分母里有 $\ln(\cdots)$ 时，还要排除真数等于 1 的点。
• ⚠️ 区间端点取不取，圆括号还是方括号，要一个一个核对。

2.5 更多例题：定义域与值域#

例 7　求 $f(x)=\arcsin\dfrac{x-1}{2}$ 的定义域。

解：

第一步，$\arcsin$ 里面的东西必须在 $[-1,1]$ 之间：$-1\le\dfrac{x-1}{2}\le1$。

第二步，三边同乘 2：$-2\le x-1\le2$。

第三步，三边同加 1：$-1\le x\le3$。定义域为 $[-1,3]$。

例 8　求 $f(x)=\ln(x^2-3x+2)$ 的定义域。

解：

第一步，真数大于 0：$x^2-3x+2>0$。

第二步，因式分解：$(x-1)(x-2)>0$。

第三步，开口向上，"大于 0 取两边"：$x<1$ 或 $x>2$。定义域为 $(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$。

例 9　求 $y=x^2-2x+3$ 在 $[0,3]$ 上的值域。

解：

第一步，配方：$y=(x-1)^2+2$。顶点在 $x=1$，最小值为 2。

第二步，$x=1$ 在区间 $[0,3]$ 内，所以最小值 $y(1)=2$。

第三步，最大值在离顶点更远的端点取到：$y(0)=3$，$y(3)=9-6+3=6$，最大值为 6。

第四步，函数连续变化，值域为 $[2,6]$。

例 10　求 $y=e^x+1$ 的值域。

解：$e^x$ 的值域是 $(0,+\infty)$（第 01 讲（中）的指数函数），加 1 后整体上移 1，值域为 $(1,+\infty)$。

实际问题的定义域：应用题里还要考虑实际意义。比如矩形周长为 20，长为 $x$，则宽为 $10-x$，面积 $S=x(10-x)$，定义域要求长和宽都大于 0，即 $0<x<10$。大纲要求"会建立应用问题的函数关系"，第 08 讲求最值时会用到。

⚠️ 求值域时，先看顶点是否在区间内，不在的话最值在端点取。

---

三、函数的四性#

3.1 有界性#

大白话：函数值被"关在一个笼子里"，不会无限变大或无限变小。

图 2：有界的样子：$y=\sin x$ 永远被关在 $-1\le y\le1$ 这个"笼子"里

定义：如果存在正数 $M$，使得对定义域内（或某区间 $I$ 内）所有 $x$ 都有

$$\lvert f(x)\rvert\le M,$$

就称 $f(x)$ 在该范围上有界。

逐行拆解：$\lvert f(x)\rvert\le M$ 读作"f x 的绝对值小于等于 M"，意思是 $-M\le f(x)\le M$。$M$ 只要能找到一个就行，不唯一。

例 11　$\sin x$ 有界吗？$\dfrac1x$ 在 $(0,1)$ 上有界吗？

解：$\lvert\sin x\rvert\le1$，取 $M=1$ 即可，有界。$\dfrac1x$ 在 $(0,1)$ 上，$x$ 越靠近 0，$\dfrac1x$ 越大，可以超过任何给定的数，所以无界。但它在 $[1,2]$ 上有界（$\le1$）。

⚠️ 有界性要说明"在哪个区间上"。同一个函数在不同区间上结论可能不同。

3.2 单调性#

大白话：从左往右走，图像一直上坡就是单调递增，一直下坡就是单调递减。

定义：对区间 $I$ 内任意 $x_1<x_2$，

• 若总有 $f(x_1)<f(x_2)$，称 $f$ 在 $I$ 上单调递增；
• 若总有 $f(x_1)>f(x_2)$，称 $f$ 在 $I$ 上单调递减。

例 12　证明 $f(x)=x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。

解：

第一步，任取 $x_1<x_2$，作差：$f(x_2)-f(x_1)=x_2^3-x_1^3$。

第二步，用立方差公式：$x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)$。

第三步，$x_2-x_1>0$。再看后一个括号：$x_2^2+x_1x_2+x_1^2=\left(x_2+\dfrac{x_1}{2}\right)^2+\dfrac34x_1^2\ge0$，且只有 $x_1=x_2=0$ 时才等于 0，而 $x_1<x_2$，所以它大于 0。

第四步，两个正数相乘为正，$f(x_2)>f(x_1)$，单调递增。

⚠️ 以后学了导数（第 08 讲），判断单调性会简单很多；现在先会"作差定号"。

3.3 奇偶性#

大白话：偶函数的图像左右对称（关于 $y$ 轴对称），像照镜子；奇函数的图像关于原点对称，绕原点转半圈和自己重合。

图 3：偶函数照镜子（关于 y 轴对称），奇函数绕原点转半圈和自己重合（关于原点对称）

定义：设定义域关于原点对称（有 $x$ 就有 $-x$）。

• 若 $f(-x)=f(x)$，称 $f$ 为偶函数；
• 若 $f(-x)=-f(x)$，称 $f$ 为奇函数。

常用结论：奇 × 奇 = 偶，偶 × 偶 = 偶，奇 × 偶 = 奇（像正负号相乘）；奇函数若在 $x=0$ 有定义，则 $f(0)=0$。

例 13　判断 $f(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ 的奇偶性。

解：

第一步，定义域：$\sqrt{1+x^2}>\lvert x\rvert\ge-x$，所以 $x+\sqrt{1+x^2}>0$ 恒成立，定义域是 $\mathbb{R}$，关于原点对称。

第二步，算 $f(-x)+f(x)$：

$$f(-x)+f(x)=\ln\left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)+\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)=\ln\left[(1+x^2)-x^2\right]=\ln1=0.$$

这里用了 $\ln a+\ln b=\ln(ab)$ 和平方差公式。

第三步，所以 $f(-x)=-f(x)$，是奇函数。

⚠️ 先看定义域是否关于原点对称。比如 $x^2$ 在 $[0,1]$ 上就谈不上奇偶。

⚠️ 大多数函数既不是奇函数也不是偶函数，比如 $x+\cos x$。

3.4 周期性#

大白话：图像每隔一段就"复制粘贴"一次，像钟表指针每 12 小时回到原位。

图 4：周期函数：$y=\sin x$ 每隔 $2\pi$ 重复一次

定义：若存在正数 $T$，使得对定义域内所有 $x$ 都有 $f(x+T)=f(x)$，称 $f$ 为周期函数，$T$ 为周期。通常说的周期指最小正周期。

常用周期：$\sin x,\cos x$ 为 $2\pi$；$\tan x$ 为 $\pi$；$\sin(\omega x)$ 为 $\dfrac{2\pi}{\lvert\omega\rvert}$；$\lvert\sin x\rvert$、$\sin^2x$、$\cos^2x$ 为 $\pi$。

例 14　求 $f(x)=\sin2x+\cos3x$ 的最小正周期。

解：

第一步，$\sin2x$ 的周期是 $\dfrac{2\pi}{2}=\pi$；$\cos3x$ 的周期是 $\dfrac{2\pi}{3}$。

第二步，和的周期要同时是两者周期的整数倍，取"最小公倍数"：$\pi$ 的倍数有 $\pi,2\pi,3\pi,\dots$；$\dfrac{2\pi}{3}$ 的倍数有 $\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3},2\pi,\dots$。最小的公共值是 $2\pi$。

所以最小正周期是 $2\pi$。

⚠️ 求 $\sin^2x$ 的周期时，先降幂：$\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$，周期是 $\pi$，不是 $2\pi$。

3.5 更多例题：四性#

例 15　$f(x)=x\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界吗？$g(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ 呢？

解：

第一步，对 $f$：取 $x=2k\pi+\dfrac{\pi}{2}$（$k$ 为正整数），则 $\sin x=1$，$f(x)=2k\pi+\dfrac{\pi}{2}$。$k$ 越大，函数值越大，可以超过任何给定的 $M$，所以无界。

第二步，对 $g$：$1+x^2\ge1$，所以 $0<\dfrac{1}{1+x^2}\le1$，取 $M=1$，有界。

例 16　证明 $f(x)=\dfrac1x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减。它在整个定义域上单调吗？

解：

第一步，任取 $0<x_1<x_2$，作差：$f(x_1)-f(x_2)=\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2-x_1}{x_1x_2}$。

第二步，分子 $x_2-x_1>0$，分母 $x_1x_2>0$，所以 $f(x_1)>f(x_2)$，单调递减。

第三步，整个定义域 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上不单调：比如 $-1<1$，但 $f(-1)=-1<f(1)=1$，而 $1<2$ 时 $f(1)=1>f(2)=\dfrac12$。只能说它在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别递减。

例 17　判断 $f(x)=\dfrac{x}{e^x-1}+\dfrac x2$ 的奇偶性。

解：

第一步，定义域：$e^x-1\ne0$，即 $x\ne0$，关于原点对称。

第二步，先通分：$f(x)=\dfrac{2x+x(e^x-1)}{2(e^x-1)}=\dfrac{x(e^x+1)}{2(e^x-1)}$。

第三步，算 $f(-x)=\dfrac{-x(e^{-x}+1)}{2(e^{-x}-1)}$，分子分母同乘 $e^x$：$f(-x)=\dfrac{-x(1+e^x)}{2(1-e^x)}=\dfrac{x(e^x+1)}{2(e^x-1)}=f(x)$。

第四步，所以 $f$ 是偶函数。

例 18　求 $y=\tan(2x+1)$ 的最小正周期。

解：$\tan$ 的周期是 $\pi$；$\tan(\omega x+b)$ 的周期是 $\dfrac{\pi}{\lvert\omega\rvert}$，平移量 $b$ 不影响周期。这里 $\omega=2$，周期为 $\dfrac{\pi}{2}$。

例 19　$f(x)$ 是以 2 为周期的函数，且在 $[0,2)$ 上 $f(x)=x^2$。求 $f(5)$ 和 $f(-1)$。

解：

第一步，周期为 2，可以随意加减 2 的整数倍：$5=1+2\times2$，所以 $f(5)=f(1)=1^2=1$。

第二步，$-1=1-2$，所以 $f(-1)=f(1)=1$。

例 20　设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且 $x>0$ 时 $f(x)=x^2-2x$。求 $x<0$ 时 $f(x)$ 的表达式。

解：

第一步，设 $x<0$，则 $-x>0$，可以用已知的式子：$f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x$。

第二步，奇函数 $f(x)=-f(-x)=-(x^2+2x)=-x^2-2x$。

第三步，另外奇函数在 0 处有 $f(0)=0$。

⚠️ "求另一半的表达式"一定从"设 $x<0$，则 $-x>0$"开始，把 $-x$ 代进已知的那一半。

---

公式/结论速记卡#

主题	要点
函数两要素	定义域 + 对应法则；两者都相同才是同一函数
函数记号	括号里放什么，就把所有 $x$ 换成什么，整体加括号
已知 $f(x+1)$ 求 $f(x)$	令 $t=x+1$，$x=t-1$ 代入，最后把 $t$ 换回 $x$
定义域	分母 $\ne0$；偶次根号内 $\ge0$；对数真数 $>0$；$\arcsin,\arccos$ 内在 $[-1,1]$；$\tan$ 内 $\ne k\pi+\frac{\pi}{2}$
值域（二次函数）	配方看顶点；顶点不在区间内就看端点
有界	存在 $M>0$，$\lvert f(x)\rvert\le M$；必须说明区间
单调	任取 $x_1<x_2$ 作差定号；分段递减不等于整体递减
奇偶	先看定义域对称；$f(-x)=f(x)$ 偶，$f(-x)=-f(x)$ 奇；奇×奇=偶，奇×偶=奇
奇函数	在 0 有定义则 $f(0)=0$；求另一半：设 $x<0$，用 $-x>0$
周期	$\sin(\omega x+b)$ 周期 $\frac{2\pi}{\lvert\omega\rvert}$；$\tan(\omega x+b)$ 为 $\frac{\pi}{\lvert\omega\rvert}$；$\sin^2x$、$\lvert\sin x\rvert$ 为 $\pi$；和的周期取最小公倍数

自测练习#

1. 设 $f(x)=x^2-x$，求 $f(-1)$ 和 $f(x+1)$。

答案与提示

$f(-1)=(-1)^2-(-1)=2$。$f(x+1)=(x+1)^2-(x+1)=x^2+2x+1-x-1=x^2+x$。

2. 已知 $f(x-1)=x^2-2x$，求 $f(x)$。

答案与提示

令 $t=x-1$，$x=t+1$：$f(t)=(t+1)^2-2(t+1)=t^2-1$。所以 $f(x)=x^2-1$。

3. 求 $f(x)=\sqrt{x^2-4}+\ln(5-x)$ 的定义域。

答案与提示

$x^2-4\ge0$ 得 $x\le-2$ 或 $x\ge2$；$5-x>0$ 得 $x<5$。取交集：$(-\infty,-2]\cup[2,5)$。

4. 求 $f(x)=\arccos(2x-1)$ 的定义域。

答案与提示

$-1\le2x-1\le1$，即 $0\le2x\le2$，$0\le x\le1$。定义域 $[0,1]$。

5. 求 $y=-x^2+4x$ 在 $[0,3]$ 上的值域。

答案与提示

配方 $y=-(x-2)^2+4$，开口向下，顶点 $x=2$ 在区间内，最大值 4。端点 $y(0)=0$，$y(3)=3$，最小值 0。值域 $[0,4]$。

6. 判断奇偶性：(1) $\ln\dfrac{1-x}{1+x}$；(2) $x(e^x-e^{-x})$；(3) $\lvert x\rvert+\cos x$。

答案与提示

(1) 定义域 $(-1,1)$ 对称；$f(-x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}=-\ln\dfrac{1-x}{1+x}=-f(x)$，奇函数。(2) $x$ 是奇函数，$e^x-e^{-x}$ 也是奇函数，奇×奇=偶，偶函数。(3) 两项都是偶函数，偶函数。

7. $f(x)=\dfrac1x$ 在 $(0,1)$ 上有界吗？在 $[1,+\infty)$ 上呢？

答案与提示

在 $(0,1)$ 上无界（$x\to0^+$ 时函数值无限增大）；在 $[1,+\infty)$ 上有界，$0<\dfrac1x\le1$。

8.（略提高） $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，周期为 4，且 $f(1)=2$。求 $f(3)$、$f(-5)$、$f(4)$。

答案与提示

$f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2$；$f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=-2$；$f(4)=f(0)=0$（奇函数在 0 处为 0）。

下一讲预告#

第 01 讲（中）讲复合函数、反函数、分段函数，以及六类基本初等函数的图像和图像变换。