考研数学二·零基础讲义 第07讲（上）｜微分中值定理：费马、罗尔、拉格朗日、柯西

考研数学二·零基础讲义 · 第 07 讲（上）｜微分中值定理：费马、罗尔、拉格朗日、柯西

学完这一篇，你能说清楚四个定理的条件、结论和几何意义，会用拉格朗日中值定理证明简单不等式，会用罗尔定理讨论方程的根，并掌握"构造辅助函数"的入门套路。预计用时：4～5 小时（含练习）。证明题是很多同学的心病，本篇会把每一步为什么这么写讲清楚。

本讲地图#

• 费马引理：可导的极值点处导数为 0。它是罗尔定理的"发动机"。
• 罗尔定理：端点等高，中间必有导数为 0 的点。大纲要求：理解并会用。
• 拉格朗日中值定理：切线平行于弦；把"函数值的差"变成"导数乘区间长"。大纲要求：理解并会用。数二证明题的头号工具。
• 柯西中值定理：两个函数版本的拉格朗日。大纲要求：了解。
• 基础应用：证明不等式、证明恒等式、讨论方程根的个数、构造辅助函数证明"存在 $\xi$ 使……"。
• 考研怎么考：中值定理多以解答题（证明题）形式出现，也会在选择题里考条件辨析。本篇只打基础，更系统的辅助函数构造见后续专题篇。

前置知识#

• 导数定义、左右导数（见第 05 讲）。
• 闭区间上连续函数的最值定理、零点定理（见第 04 讲）。
• 求导公式与技巧（见第 05、06 讲）。

---

一、费马引理：山顶的切线是平的#

1.1 大白话#

你骑车过一座光滑的小山，在山顶那一刻，车既不往上也不往下，是水平的。同样在谷底也是水平的。

费马引理说的就是：函数在某点取得局部最大（或最小），且在这点可导，那么这点的导数为 0（切线水平）。

1.2 正式表述#

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义，在 $x_0$ 处可导，且对该邻域内所有 $x$ 都有 $f(x)\le f(x_0)$（或 $f(x)\ge f(x_0)$），则

$$f'(x_0)=0$$

1.3 逐行拆解#

• "邻域"就是 $x_0$ 附近的一小段开区间 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$，$\delta$ 读作"德尔塔"，是一个小正数。
• "$f(x)\le f(x_0)$"：$x_0$ 附近没有比它更高的点，即局部最大。
• 导数为 0 的点叫驻点（"驻"是停住的意思，变化率停在 0）。

为什么成立（看懂即可，不必背）：设 $x_0$ 是局部最大点。

• 往右看（$x>x_0$）：分子 $f(x)-f(x_0)\le0$，分母 $x-x_0>0$，差商 $\le0$，所以右导数 $f'_+(x_0)\le0$；
• 往左看（$x<x_0$）：分子 $\le0$，分母 $<0$，差商 $\ge0$，所以左导数 $f'_-(x_0)\ge0$；
• 可导要求左右导数相等，一个 $\le0$ 一个 $\ge0$，只能都等于 0。

1.4 易错点 ⚠️#

• 前提是可导。$y=|x|$ 在 $0$ 处取最小值，但那是个尖角，不可导，费马引理不管它。
• 前提是 $x_0$ 在区间内部（有一个完整的邻域）。端点处取最值时导数不必为 0，比如 $y=x$ 在 $[0,1]$ 上的最大值在 $x=1$，导数是 1。
• 反过来不对：$f'(x_0)=0$ 不一定是极值点，比如 $y=x^3$ 在 $0$ 处。

---

二、罗尔定理：起点终点一样高，中间必有平地#

2.1 大白话#

从山脚 A 出发、最后回到同样高度的 B，路是连续光滑的。那么途中一定有某个时刻你是水平前进的——要么一直平着走，要么上去过（有山顶），要么下去过（有谷底），山顶或谷底处就是平的。

图 1：罗尔定理的样子：$y=x^3-4x$ 在 $[-2,2]$ 两端一样高，中间的山顶和谷底处切线都是水平的

2.2 正式表述#

若 $f(x)$ 满足：

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
3. $f(a)=f(b)$；

则至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使

$$f'(\xi)=0$$

2.3 逐行拆解#

• $\xi$ 读作"克西"，表示中间某个点。定理只保证它存在，不告诉你它在哪，也可能不止一个。
• $\in$ 读作"属于"。$\xi\in(a,b)$ 是开区间，$\xi$ 严格在 $a,b$ 之间。
• 证明思路（理解即可）：闭区间上连续，所以有最大值 $M$ 和最小值 $m$（第 04 讲）。若 $M=m$，函数是常数，处处导数为 0；若 $M>m$，因为两端等高，最大、最小值至少有一个在内部取到，那一点就是局部最值点，由费马引理导数为 0。
• 三个条件缺一不可，各举一个反例：
  • 不连续：$f(x)=x$（$0\le x<1$），$f(1)=0$，端点相等，但没有导数为 0 的点；
  • 不可导：$f(x)=|x|$ 在 $[-1,1]$，$f(-1)=f(1)$，但没有导数为 0 的点（0 处不可导）；
  • 端点不等：$f(x)=x$ 在 $[0,1]$，导数恒为 1。
• 条件是充分不必要的：不满足条件时，结论也可能碰巧成立（比如 $\cos x$ 在 $[0,3\pi/2]$ 端点不等，但 $x=\pi$ 处导数为 0）。

2.4 例题#

例 1 验证 $f(x)=x^2-2x$ 在 $[0,2]$ 上满足罗尔定理，并求 $\xi$。

• 多项式处处连续可导，条件 1、2 满足；
• $f(0)=0$，$f(2)=4-4=0$，条件 3 满足；
• $f'(x)=2x-2=0$，得 $\xi=1\in(0,2)$。

例 2（根的唯一性） 证明方程 $x^3+x-1=0$ 有且只有一个实根。

存在：令 $f(x)=x^3+x-1$，$f(0)=-1<0$，$f(1)=1>0$，由零点定理（第 04 讲），$(0,1)$ 内至少有一个根。

唯一（用罗尔定理反证）：假设有两个根 $x_1<x_2$，则 $f(x_1)=f(x_2)=0$，$f$ 在 $[x_1,x_2]$ 上满足罗尔定理条件，存在 $\xi$ 使 $f'(\xi)=0$。但 $f'(x)=3x^2+1>0$ 恒成立，矛盾。所以只有一个实根。

套路：零点定理管"至少一个"，罗尔定理（反证）管"至多一个"。

例 3（根的存在性，用"原函数"） 设 $a_0+\dfrac{a_1}{2}+\dfrac{a_2}{3}=0$。证明方程 $a_0+a_1x+a_2x^2=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个根。

分析：直接用零点定理需要知道端点符号，但这里不知道。换个角度：$a_0+a_1x+a_2x^2$ 能不能看成某个函数的导数？能：

$$F(x)=a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3,\qquad F'(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$$

证明：$F$ 是多项式，在 $[0,1]$ 上连续可导。$F(0)=0$，$F(1)=a_0+\dfrac{a_1}2+\dfrac{a_2}3=0$。由罗尔定理，存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $F'(\xi)=0$，即 $\xi$ 是方程的根。证毕。

套路：证"$g(x)=0$ 有根"而零点定理用不上时，找一个 $F$ 使 $F'=g$，再对 $F$ 用罗尔定理。

例 4（多次使用罗尔） 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，$f(a)=f(c)=f(b)$，其中 $a<c<b$。证明存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f''(\xi)=0$。

• 在 $[a,c]$ 上用罗尔：存在 $\xi_1\in(a,c)$，$f'(\xi_1)=0$；
• 在 $[c,b]$ 上用罗尔：存在 $\xi_2\in(c,b)$，$f'(\xi_2)=0$；
• $\xi_1<\xi_2$，$f'$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上可导（因为 $f$ 二阶可导）且两端都为 0，再用一次罗尔：存在 $\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(a,b)$，$f''(\xi)=0$。证毕。

2.5 易错点 ⚠️#

• 用罗尔定理时要逐条写出三个条件都满足，证明题这是得分点。
• 罗尔定理只说"至少一个"，不是"恰好一个"。
• 多次使用时，要说明每次的新区间，且 $\xi$ 要用不同的下标区分。

---

三、拉格朗日中值定理：平均速度总会被达到#

3.1 大白话#

你开车 2 小时走了 160 公里，平均时速 80。那么途中一定有某个瞬间，速度表恰好指在 80。

几何上：连接曲线两端点 A、B 画一条弦，曲线上一定有一点的切线和这条弦平行。把罗尔定理的图"歪"一下就是拉格朗日。

图 2：拉格朗日中值定理：把弦 AB 平行地往上推，最后一定在某点 ξ 与曲线相切——那里的切线斜率就等于弦的斜率（$y=\ln x$，$[1,8]$）（动画循环播放）

3.2 正式表述#

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，则至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使

$$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

等价写法（"拉格朗日中值公式"，证明题最常用）：

$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$$

3.3 逐行拆解#

• 右边 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 是弦 AB 的斜率，即"平均变化率"；左边 $f'(\xi)$ 是 $\xi$ 处的切线斜率，即"瞬时变化率"。
• 比罗尔少了条件 $f(a)=f(b)$。当 $f(a)=f(b)$ 时它就退化成罗尔定理。
• 证明思路：把曲线减去弦，得到辅助函数 $\varphi(x)=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，它满足 $\varphi(a)=\varphi(b)=f(a)$，对它用罗尔定理即可。这是"构造辅助函数"的第一个例子。
• 它的威力：把函数值之差 $f(b)-f(a)$ 变成导数 $f'(\xi)$ 乘以区间长度。只要知道导数的范围，就能估计函数差的范围——这是证明不等式的核心。
• $\xi$ 还可以写成 $\xi=a+\theta(b-a)$，$0<\theta<1$（$\theta$ 读作"西塔"），了解即可。

两个重要推论：

1. 若在区间 $I$ 上 $f'(x)\equiv0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是常数。
2. 若在 $I$ 上 $f'(x)\equiv g'(x)$，则 $f(x)=g(x)+C$（$C$ 为常数）。

推论 1 的证明：任取 $I$ 中两点 $x_1<x_2$，$f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)=0$，所以任意两点函数值相等。

3.4 例题#

例 5 $f(x)=x^3$ 在 $[0,2]$ 上，求拉格朗日中值定理中的 $\xi$。

$$\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{8}{2}=4,\qquad f'(\xi)=3\xi^2=4$$

$\xi=\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}\approx1.155\in(0,2)$（负根不在区间内，舍去）。

例 6（证明不等式·基础） 证明：对任意实数 $a,b$，$|\sin a-\sin b|\le|a-b|$。

$a=b$ 时显然。设 $a\neq b$，对 $f(x)=\sin x$ 在 $a,b$ 之间用拉格朗日中值定理：

$$\sin a-\sin b=\cos\xi\cdot(a-b)$$

两边取绝对值，因为 $|\cos\xi|\le1$：

$$|\sin a-\sin b|=|\cos\xi|\cdot|a-b|\le|a-b|$$

证毕。同理可证 $|\arctan a-\arctan b|\le|a-b|$（因为 $(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}\le1$）。

例 7（证明不等式·经典） 证明：当 $x>0$ 时，

$$\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x$$

分析：中间的 $\ln(1+x)$ 可以看成 $\ln(1+x)-\ln 1$，即函数 $f(t)=\ln t$ 在 $[1,1+x]$ 上的差。

证明：令 $f(t)=\ln t$，它在 $[1,1+x]$ 上连续、在 $(1,1+x)$ 内可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(1,1+x)$，使

$$\ln(1+x)-\ln1=\frac{1}{\xi}\cdot\big((1+x)-1\big)=\frac{x}{\xi}$$

因为 $1<\xi<1+x$，所以 $\dfrac{1}{1+x}<\dfrac1\xi<1$，两边乘正数 $x$：

$$\frac{x}{1+x}<\frac{x}{\xi}<x$$

即 $\dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x$。证毕。

例 8（证明不等式·两个字母） 设 $0<a<b$，证明：

$$\frac{b-a}{b}<\ln\frac{b}{a}<\frac{b-a}{a}$$

识别信号：出现 $f(b)-f(a)$ 和 $b-a$ 的结构，就想拉格朗日。$\ln\dfrac ba=\ln b-\ln a$。

对 $f(x)=\ln x$ 在 $[a,b]$ 上用中值定理：$\ln b-\ln a=\dfrac{1}{\xi}(b-a)$，$a<\xi<b$。

由 $\dfrac1b<\dfrac1\xi<\dfrac1a$，两边乘 $b-a>0$ 即得。证毕。（令 $a=1$，$b=1+x$ 就是例 7。）

例 9（证明恒等式） 证明 $\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$，$x\in[-1,1]$。

令 $F(x)=\arcsin x+\arccos x$，在 $(-1,1)$ 内

$$F'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0$$

由推论 1，$F(x)\equiv C$。取 $x=0$：$C=0+\dfrac\pi2=\dfrac\pi2$。端点 $x=\pm1$ 直接验证：$\dfrac\pi2+0$ 和 $-\dfrac\pi2+\pi$ 都等于 $\dfrac\pi2$。证毕。

套路：证"$F(x)=$ 常数"，就证 $F'(x)\equiv0$，再代一个好算的点定常数。

3.5 易错点 ⚠️#

• $\xi$ 依赖于 $a,b$，不是固定常数。例 7 里 $\xi$ 随 $x$ 变化。
• 用中值定理证不等式的关键一步，是从 $\xi$ 的范围推出 $f'(\xi)$ 的范围，要注意单调性方向（$\dfrac1\xi$ 是减函数，所以不等号翻转）。
• 别忘了写"$f$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导"这句条件验证。

---

四、柯西中值定理：两个函数一起跑#

4.1 大白话#

如果曲线是参数方程给的：$x=g(t)$，$y=f(t)$，$t\in[a,b]$。弦的斜率是 $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$，某点切线斜率是 $\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$（第 06 讲下的参数方程求导）。"切线平行于弦"就是柯西中值定理。

4.2 正式表述#

若 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且在 $(a,b)$ 内 $g'(x)\ne0$，则至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

4.3 逐行拆解#

• 取 $g(x)=x$，分母变成 $b-a$，$g'=1$，就回到了拉格朗日。所以三大定理是一家人：罗尔 ⊂ 拉格朗日 ⊂ 柯西（越往后越一般）。
• 条件 $g'(x)\ne0$ 保证了 $g(b)\ne g(a)$（否则由罗尔定理 $g'$ 会有零点），分母不为 0。
• 注意左右两边用的是同一个 $\xi$。如果你对 $f$、$g$ 分别用拉格朗日，会得到两个不同的 $\xi_1,\xi_2$，不能约掉。这正是柯西定理不能由拉格朗日直接"相除"得到的原因。
• 柯西中值定理是下一篇洛必达法则的理论基础。

4.4 例题#

例 10 $f(x)=x^2$，$g(x)=x^3$，在 $[1,2]$ 上求柯西中值定理中的 $\xi$。

$$\frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)}=\frac{4-1}{8-1}=\frac37,\qquad \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{2\xi}{3\xi^2}=\frac{2}{3\xi}$$

令 $\dfrac{2}{3\xi}=\dfrac37$，得 $\xi=\dfrac{14}{9}\approx1.56\in(1,2)$。

识别信号：要证的式子里出现"两个函数差的比"$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$，或者 $\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 型结论，想柯西。

---

五、构造辅助函数入门：证明"存在 $\xi$ 使……"#

5.1 大白话#

考研常见题型："设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续、$(0,1)$ 内可导，$f(0)=f(1)=0$，证明存在 $\xi$ 使 $f'(\xi)=f(\xi)$。"

罗尔定理只能给你 $F'(\xi)=0$。所以我们要造一个函数 $F(x)$，让 $F'(\xi)=0$ 刚好等价于题目要证的式子。这就叫构造辅助函数。

5.2 常用套路（入门四件套）#

要证的结论	辅助函数 $F(x)$	因为 $F'(x)=$
$f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$	$xf(x)$	$f(x)+xf'(x)$
$2f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$	$x^2f(x)$	$x[2f(x)+xf'(x)]$
$f'(\xi)-f(\xi)=0$	$e^{-x}f(x)$	$e^{-x}[f'(x)-f(x)]$
$f'(\xi)+\lambda f(\xi)=0$	$e^{\lambda x}f(x)$	$e^{\lambda x}[f'(x)+\lambda f(x)]$

（$\lambda$ 读作"兰姆达"，表示一个常数。）

思路：

1. 把要证的式子里的 $\xi$ 换成 $x$，移项让右边为 0；
2. 看左边像哪个乘积的导数（乘积法则倒着用）；
3. "$f'+\lambda f$"型，就乘上 $e^{\lambda x}$。因为 $e^{\lambda x}$ 永远大于 0，$F'=0$ 就等价于括号里为 0；
4. 验证 $F$ 在两端点相等，用罗尔定理。

5.3 例题#

例 11 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(1)=0$。证明：存在 $\xi\in(0,1)$，使 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$。

证明：令 $F(x)=xf(x)$。$F$ 在 $[0,1]$ 上连续、$(0,1)$ 内可导，且

$$F(0)=0\cdot f(0)=0,\qquad F(1)=1\cdot f(1)=0$$

由罗尔定理，存在 $\xi\in(0,1)$，使 $F'(\xi)=f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$。证毕。

例 12 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(0)=f(1)=0$。证明：存在 $\xi\in(0,1)$，使 $f'(\xi)=f(\xi)$。

分析：要证 $f'(\xi)-f(\xi)=0$，属于 $\lambda=-1$ 的情况，乘 $e^{-x}$。

证明：令 $F(x)=e^{-x}f(x)$，则 $F(0)=F(1)=0$，满足罗尔定理条件，存在 $\xi$ 使

$$F'(\xi)=e^{-\xi}\big[f'(\xi)-f(\xi)\big]=0$$

而 $e^{-\xi}>0$，所以 $f'(\xi)=f(\xi)$。证毕。

例 13（与中值定理结合） 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，$0<a<b$。证明存在 $\xi\in(a,b)$ 使

$$f(b)-f(a)=\xi f'(\xi)\ln\frac ba$$

分析：变形为 $\dfrac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}=\dfrac{f'(\xi)}{1/\xi}$。右边是 $\dfrac{f'}{(\ln x)'}$——两个函数的导数之比，用柯西！

证明：取 $g(x)=\ln x$，在 $[a,b]$ 上连续、$(a,b)$ 内可导，$g'(x)=\dfrac1x\ne0$。由柯西中值定理，存在 $\xi\in(a,b)$，

$$\frac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}=\frac{f'(\xi)}{1/\xi}=\xi f'(\xi)$$

两边乘 $\ln b-\ln a=\ln\dfrac ba$ 即得。证毕。

5.4 易错点 ⚠️#

• 造出 $F$ 后一定要验证 $F(a)=F(b)$，这一步正是题目条件的用武之地。
• 中值定理证明题写法要完整：说清楚对哪个函数、在哪个区间、用哪个定理、条件为何满足。
• 结论里只有一个 $\xi$ 时，只能用一次中值定理（或罗尔）；出现两个不同的 $\xi,\eta$ 时通常要用两次，那是提高题，后续专题篇再讲。

---

六、怎么选定理：一张识别表#

题目特征	首选工具
证 $f'(\xi)=0$ 或可化成 $F'(\xi)=0$	罗尔定理（+ 辅助函数）
出现 $f(b)-f(a)$，或要证含 $f(x)-f(x_0)$ 的不等式	拉格朗日
出现 $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ 或 $\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$	柯西
证方程至少一个根	零点定理；不行就找 $F'=g$ 用罗尔
证方程至多一个根	反证 + 罗尔（或单调性，见第 08 讲上）
证 $F(x)\equiv$ 常数	$F'\equiv0$ + 代特殊点

---

---

七、常见疑问答疑#

问 1：中值定理只说 $\xi$ "存在"，不告诉在哪，有什么用？

答：用处恰恰在于"不需要知道在哪"。证明题里我们关心的是 $f'(\xi)$ 的范围，而不是 $\xi$ 的具体值。比如例 7 只用到了"$\xi$ 在 $1$ 和 $1+x$ 之间"这一条信息，就推出了不等式。很多看起来无从下手的证明，正是靠这种"知道它在某个范围内就够了"的思路完成的。

问 2：为什么条件写的是"闭区间连续、开区间可导"，而不是都写闭区间？

答：这是为了让定理适用范围更广。端点处只需要连续（保证函数值能"接上"），不需要可导。比如 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上：$x=0$ 处不可导（切线竖直），但它在 $[0,1]$ 上连续、$(0,1)$ 内可导，照样可以用拉格朗日中值定理。条件写得越弱，定理越好用。

问 3：证明题里一定要先写"验证条件"吗？我觉得很显然。

答：一定要写。阅卷时条件验证是给分点，而且有些题目故意设计成某个条件不满足（比如函数在区间内某点不可导），不验证就会掉进陷阱。写法很简单，一句话："$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，由拉格朗日中值定理……"即可。

问 4：辅助函数是怎么"想到"的？总觉得像变魔术。

答：入门阶段靠"记套路 + 反推"。做法是：把结论里的 $\xi$ 换成 $x$，移项让一边为 0，然后问自己"这个式子是谁的导数？"或者"乘上什么之后会变成某个乘积的导数？"。本篇表格里的四种类型覆盖了大部分基础题；更复杂的类型（比如结论里同时有 $\xi$ 和 $\eta$）会在后续专题中系统讲。多做几道题，"魔术"就会变成"套路"。

问 5：罗尔、拉格朗日、柯西三个定理，考试最常用哪个？

答：从数学二的考查看，拉格朗日中值定理和罗尔定理（加构造辅助函数）用得最多，柯西中值定理相对少一些，大纲也只要求"了解"。但三者的条件和结论都要能准确写出，因为选择题会考条件辨析。

学习建议：本篇的证明题第一遍可以对着答案"抄"，体会每一句话为什么这样写；第二遍盖住答案自己写；第三遍隔几天再写。证明题的书写规范是练出来的，不是看出来的。

公式/结论速记卡#

定理	条件	结论	一句话
费马	$x_0$ 处可导且是局部最值点（内部）	$f'(x_0)=0$	山顶切线平
罗尔	$[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导，$f(a)=f(b)$	$\exists\xi\in(a,b)$，$f'(\xi)=0$	等高必有平地
拉格朗日	$[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导	$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$	切线平行于弦
柯西	再加 $g'(x)\ne0$	$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$	同一个 $\xi$

• 推论：$f'\equiv0\Rightarrow f\equiv C$；$f'\equiv g'\Rightarrow f=g+C$。
• 辅助函数：$f+xf'\to xf$；$2f+xf'\to x^2f$；$f'+\lambda f\to e^{\lambda x}f$；证 $g=0$ 有根 $\to$ 找 $F'=g$。
• 常用不等式：$x>0$ 时 $\dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x$；$|\sin a-\sin b|\le|a-b|$；$0<a<b$ 时 $\dfrac{b-a}{b}<\ln\dfrac ba<\dfrac{b-a}{a}$。

---

自测练习#

1. 验证 $f(x)=\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上满足罗尔定理，并求 $\xi$。

答案与提示

$\sin x$ 处处连续可导，$f(0)=f(\pi)=0$。$f'(x)=\cos x=0$，在 $(0,\pi)$ 内得 $\xi=\dfrac\pi2$。

2. 求 $f(x)=\ln x$ 在 $[1,e]$ 上拉格朗日中值定理的 $\xi$。

答案与提示

$\dfrac{\ln e-\ln1}{e-1}=\dfrac{1}{e-1}=f'(\xi)=\dfrac1\xi$，所以

$$\xi=e-1\approx1.718\in(1,e)$$

3. 求 $f(x)=\sin x$，$g(x)=\cos x$ 在 $\left[0,\dfrac\pi2\right]$ 上柯西中值定理的 $\xi$。

答案与提示

$\dfrac{\sin\frac\pi2-\sin0}{\cos\frac\pi2-\cos0}=\dfrac{1}{-1}=-1$；$\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{\cos\xi}{-\sin\xi}=-\cot\xi$。

$-\cot\xi=-1\Rightarrow\xi=\dfrac\pi4$。

4. 用拉格朗日中值定理证明：当 $x\neq0$ 时，$e^x>1+x$。

答案与提示

对 $f(t)=e^t$ 在 $0$ 与 $x$ 之间用中值定理：$e^x-1=e^\xi\cdot x$，$\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间。

• $x>0$：$\xi>0$，$e^\xi>1$，所以 $e^x-1=e^\xi x>x$；
• $x<0$：$\xi<0$，$0<e^\xi<1$，乘负数 $x$ 不等号翻转：$e^\xi x>x$，仍有 $e^x-1>x$。

所以 $e^x>1+x$。

5. 证明：当 $x>0$ 时，$\arctan x<x$。

答案与提示

对 $f(t)=\arctan t$ 在 $[0,x]$ 上用中值定理：$\arctan x-0=\dfrac{1}{1+\xi^2}\cdot x$，$0<\xi<x$。因为 $\dfrac{1}{1+\xi^2}<1$，所以 $\arctan x<x$。

6. 证明方程 $x^5+x+1=0$ 有且只有一个实根。

答案与提示

存在：$f(-1)=-1<0$，$f(0)=1>0$，零点定理。唯一：若有两根，由罗尔定理 $f'(\xi)=5\xi^4+1=0$，但 $5x^4+1>0$，矛盾。

7. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(1)=0$。证明存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $2f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$。

答案与提示

令 $F(x)=x^2f(x)$，$F(0)=0$，$F(1)=f(1)=0$。由罗尔定理存在 $\xi\in(0,1)$，$F'(\xi)=\xi[2f(\xi)+\xi f'(\xi)]=0$。因 $\xi\neq0$，故 $2f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$。

8.（略提高）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(0)=f(1)=0$。证明：存在 $\xi\in(0,1)$，使 $f'(\xi)+2f(\xi)=0$。

答案与提示

令 $F(x)=e^{2x}f(x)$，则 $F(0)=F(1)=0$，$F$ 在 $[0,1]$ 连续、$(0,1)$ 可导。由罗尔定理存在 $\xi$ 使

$$F'(\xi)=e^{2\xi}\big[f'(\xi)+2f(\xi)\big]=0$$

$e^{2\xi}>0$，故 $f'(\xi)+2f(\xi)=0$。

---

下一讲预告#

第 07 讲（中）讲求极限的"求导大法"——洛必达法则：它能用在哪、怎么连续使用、七种未定式如何转化，以及它什么时候会失效。