2026考研数学二真题精讲⑤：填空题14–16（链式法则·平均值·规范形与秩）

2026 考研数学二 · 以练串学 ⑤｜填空题 14–16

这一篇不只讲 3 道题。每道题都会带出一条"知识链"：先用热身题把底子补上，再拆真题，最后用 3 道变式题把同一个思路练熟。

建议用法

1. 先只看题目，自己做 2 分钟。答案是折叠的，做完再点开。
2. 卡住了，先做「热身」，再回来看真题。
3. 真题弄懂后，把「变式训练」从易到难做一遍。每道都有提示和完整解答。

所有答案都用代码（SymPy）重新验算过。

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第 14 题　从全微分读偏导，再链式求导#

题目　已知函数 $f(x,y)$ 可微，且 $df(0,0)=\pi\,dx+3\,dy$，记 $g(x)=f(\ln x,\sin\pi x)$，则 $g'(1)=$ ______。

做完再点开：答案

$-2\pi$

🧭 知识地图#

一元复合函数求导 → 偏导数与全微分 → 多元复合函数的链式法则（核心工具） → 隐函数求导、二阶混合偏导

同一工具还用在：本卷第 3 题（隐函数偏导，本质也是链式法则）、第 19 题（二元极值要先求偏导）。

🔥 热身（2 分钟）#

热身 1　设 $f(x,y)=x^2y$，求 $df(1,2)$。

热身 2　设 $f(x,y)=xy$，$g(t)=f(t^2,t^3)$。分别用"先代入再求导"和"链式法则"求 $g'(1)$。

热身答案

热身 1： $df(1,2)=4\,dx+dy$。

因为 $f_x=2xy$，$f_y=x^2$，在 $(1,2)$ 处分别是 $4$ 和 $1$。全微分的两个系数，就是两个偏导。

热身 2： $g'(1)=5$。

先代入：$g(t)=t^5$，所以 $g'(1)=5$。

链式法则：$g'(t)=f_x\cdot 2t+f_y\cdot 3t^2=y\cdot 2t+x\cdot 3t^2$。$t=1$ 时 $x=y=1$，得 $2+3=5$。两种方法一样。

这两题正好对应真题的两件工具：从全微分读偏导和链式法则。真题里 $f$ 没有具体表达式，所以只能走链式法则这条路。

👀 一眼看穿#

$df=f_x\,dx+f_y\,dy$，所以直接读出 $f_x(0,0)=\pi$，$f_y(0,0)=3$。

再看 $x=1$ 时内层函数把点送到哪：$(\ln1,\sin\pi)=(0,0)$。

刚好落在已知点。所以这题只差"链式法则 + 代数"。

📚 知识点深度回顾#

① 全微分的系数为什么就是偏导#

$f$ 在某点可微，意思是函数的增量能写成"线性部分 + 更高阶的小量"：

$$\Delta f=A\,\Delta x+B\,\Delta y+o(\rho),\qquad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$$

令 $\Delta y=0$，两边除以 $\Delta x$ 再取极限，左边就是 $f_x$，右边只剩 $A$。

所以 $A=f_x$。同理 $B=f_y$。

也就是说：看到 $df=\pi\,dx+3\,dy$，就等于告诉你 $f_x=\pi$，$f_y=3$。

② "可微"和"偏导存在"不是一回事#

可微 ⇒ 偏导存在。反过来不一定。

经典反例：$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$（原点处补定义为 0）。

它在原点的两个偏导都是 0，但沿 $y=x$ 走过去函数值恒为 $\frac12$，连连续都谈不上，更别说可微。

链式法则需要外层函数可微。所以题目特意写"$f$ 可微"，就是在给链式法则开绿灯。

③ 链式法则：画一棵树#

$g(x)=f(u(x),v(x))$，变量关系是 $g\to(u,v)\to x$。

从 $g$ 到 $x$ 有两条路，每条路上的导数相乘，再把两条路加起来：

$$g'(x)=f_u\,u'(x)+f_v\,v'(x)$$

为什么成立？$x$ 变一点点，$u,v$ 各变 $u'\Delta x$、$v'\Delta x$。代进全微分，$\Delta g\approx f_u\,u'\Delta x+f_v\,v'\Delta x$，除以 $\Delta x$ 就是上式。

④ 易错点#

• 偏导要在"内层送到的点"取值，不是在 $(x,x)$ 或 $(1,1)$ 取值。本题是 $(0,0)$。
• 内层导数别算错符号：$(\sin\pi x)'=\pi\cos\pi x$，在 $x=1$ 处等于 $-\pi$。
• 二阶题里，$f_1,f_2$ 本身还是 $u,v$ 的函数，对 $x$ 求导时还要再链一次（见变式 3）。

✍️ 详细步骤#

第 1 步：读偏导。 由 $df(0,0)=\pi\,dx+3\,dy$，得 $f_x(0,0)=\pi$，$f_y(0,0)=3$。

第 2 步：写内层。 $u=\ln x$，$u'=\frac1x$；$v=\sin\pi x$，$v'=\pi\cos\pi x$。

第 3 步：确定点。 $x=1$ 时 $(u,v)=(0,0)$，正好是已知偏导的点。并且 $u'(1)=1$，$v'(1)=\pi\cos\pi=-\pi$。

第 4 步：链式法则。

$$g'(1)=f_x(0,0)\cdot1+f_y(0,0)\cdot(-\pi)=\pi-3\pi=-2\pi$$

答案：$-2\pi$。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（直接模仿）　$f(x,y)$ 可微，$df(1,0)=2\,dx-dy$，$g(x)=f(e^x,\ x^2+x)$，求 $g'(0)$。

变式 2（逆向：由复合函数反求全微分）　$f(x,y)$ 可微。记 $g(x)=f(x,x^2)$，$h(x)=f(x^2,x)$。已知 $g'(1)=3$，$h'(1)=4$，求 $df(1,1)$。

变式 3（经典：二阶混合偏导）　$z=f(x^2-y^2,\ xy)$，$f$ 有连续二阶偏导，求 $\frac{\partial^2z}{\partial x\,\partial y}$。

变式 1 提示与解答

提示： 先看 $x=0$ 时点被送到哪。

解： $x=0$ 时 $(e^0,\ 0)=(1,0)$，正好是已知点，$f_x=2$，$f_y=-1$。

内层导数：$(e^x)'=e^x$，在 $0$ 处是 $1$；$(x^2+x)'=2x+1$，在 $0$ 处是 $1$。

$$g'(0)=2\cdot1+(-1)\cdot1=1$$

变式 2 提示与解答

提示： 两个复合函数都经过点 $(1,1)$。各写一次链式法则，就是两个关于 $f_x,f_y$ 的方程。

解： 记 $p=f_x(1,1)$，$q=f_y(1,1)$。

$g'(x)=f_x+f_y\cdot 2x$，所以 $g'(1)=p+2q=3$。

$h'(x)=f_x\cdot2x+f_y$，所以 $h'(1)=2p+q=4$。

解方程组得 $p=\frac53$，$q=\frac23$，所以

$$df(1,1)=\frac53\,dx+\frac23\,dy$$

这题把真题倒过来问：真题是"知道全微分求导数"，这里是"知道导数求全微分"。

变式 3 提示与解答

提示： 记 $u=x^2-y^2$，$v=xy$。先求 $z_x$，再对 $y$ 求导。注意 $f_1,f_2$ 仍然是 $u,v$ 的函数，要再链一次。

解： 一阶：

$$z_x=f_1\cdot2x+f_2\cdot y$$

对 $y$ 求导。$2x f_1$ 这一项：$f_1$ 对 $y$ 求导得 $f_{11}\cdot(-2y)+f_{12}\cdot x$。$y f_2$ 这一项用乘积法则：$f_2+y\,\big(f_{21}\cdot(-2y)+f_{22}\cdot x\big)$。

合并（$f_{12}=f_{21}$，因为二阶偏导连续）：

$$\frac{\partial^2z}{\partial x\,\partial y}=-4xy\,f_{11}+2(x^2-y^2)\,f_{12}+xy\,f_{22}+f_2$$

最容易漏的是最后那个 $f_2$。它来自乘积法则里"$y$ 对 $y$ 求导"。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 全微分系数 = 偏导；先看内层把点送到哪儿。
• 🧠 链式法则画树：每条路导数相乘，所有路相加。
• ⚠️ $\cos\pi=-1$，这个负号是本题唯一的坑。
• 🔗 和第 3 题连起来：隐函数公式 $z_x=-F_x/F_z$ 也是从链式法则推出来的。

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第 15 题　函数的平均值 = 积分 ÷ 区间长度#

题目　函数 $f(x)=\ln(2+x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的平均值为 ______。

做完再点开：答案

$3\ln2-1$

🧭 知识地图#

定积分的定义（黎曼和）→ 积分中值定理 / 函数的平均值（核心工具） → 分部积分求 $\int\ln u\,du$ → 和式极限化积分

同一工具还用在：本卷第 7 题（和式极限化二重积分，本质就是"平均值"）、第 18 题（含参变限积分的计算）。

🔥 热身（2 分钟）#

热身 1　计算 $\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx$。

热身 2　求 $f(x)=x^2$ 在 $[0,3]$ 上的平均值。

热身答案

热身 1： $1$。

分部积分：$\int\ln x\,dx=x\ln x-x+C$。所以结果是 $(e-e)-(0-1)=1$。

热身 2： $3$。

$\int_0^3x^2dx=9$，再除以区间长度 $3$，得 $3$。

这两题正好对应真题的两件工具：$\int\ln u\,du=u\ln u-u$ 和 "积分 ÷ 区间长度"。

👀 一眼看穿#

平均值的公式只有一个：

$$\bar f=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx$$

被积函数是 $\ln(2+x)$，换元 $u=2+x$ 就变成 $\int\ln u\,du$，一步到位。

最后别忘了除以 $2$。

图：平均值就是"等面积矩形"的高（Python 绘制）

📚 知识点深度回顾#

① 平均值公式从哪里来#

先想"有限个数的平均"：把 $[a,b]$ 等分成 $n$ 份，取每份上的函数值 $f(x_k)$，平均就是

$$\frac1n\sum_{k=1}^nf(x_k)$$

每份长 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$，所以 $\frac1n=\frac{\Delta x}{b-a}$。代进去：

$$\frac1n\sum_{k=1}^nf(x_k)=\frac{1}{b-a}\sum_{k=1}^nf(x_k)\,\Delta x\ \longrightarrow\ \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx$$

也就是说：积分平均值，就是"取的点无限多"时的算术平均。

② 几何意义和积分中值定理#

把 $\int_a^bf\,dx$ 看成曲线下的面积。平均值 $\bar f$ 就是一个同底等面积矩形的高。

积分中值定理说：$f$ 在 $[a,b]$ 上连续时，一定存在 $\xi\in[a,b]$，使

$$\int_a^bf(x)\,dx=f(\xi)\,(b-a)$$

所以平均值一定能被函数"取到"。它也一定夹在最小值和最大值之间。

③ 必背原函数（分部积分出来的）#

积分	结果
$\int\ln u\,du$	$u\ln u-u+C$
$\int u\,e^u\,du$	$(u-1)e^u+C$
$\int u\ln u\,du$	$\frac{u^2}{2}\ln u-\frac{u^2}{4}+C$
$\int\arctan u\,du$	$u\arctan u-\frac12\ln(1+u^2)+C$

$\int\ln u\,du$ 的推导：把 $\ln u$ 看成 $\ln u\cdot1$，分部积分得 $u\ln u-\int u\cdot\frac1u\,du=u\ln u-u$。

④ 易错点#

• 只算了积分，忘了除以区间长度。 这是本题最常见的丢分。
• 换元要换上下限：$x:0\to2$ 对应 $u:2\to4$。
• 算完做一次合理性检查：平均值必须在 $\min f$ 与 $\max f$ 之间。

✍️ 详细步骤#

第 1 步：换元。 令 $u=2+x$，$x:0\to2$ 对应 $u:2\to4$。

第 2 步：积分。

$$\int_0^2\ln(2+x)\,dx=\int_2^4\ln u\,du=\Big[u\ln u-u\Big]_2^4=(4\ln4-4)-(2\ln2-2)=6\ln2-2$$

第 3 步：除以区间长度。

$$\bar f=\frac{6\ln2-2}{2}=3\ln2-1$$

第 4 步：检查。 $3\ln2-1\approx1.079$，介于 $\ln2\approx0.69$ 与 $\ln4\approx1.39$ 之间，合理。

答案：$3\ln2-1$。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（直接模仿）　求 $f(x)=\ln(1+x)$ 在 $[0,1]$ 上的平均值。

变式 2（逆向：找中值点）　$f(x)=x^2$ 在 $[0,a]$（$a>0$）上的平均值等于 $f(\xi)$，求 $\xi$。

变式 3（和式极限）　求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\left(2+\frac{2k}{n}\right)$。

变式 1 提示与解答

提示： 和真题一样，换元 $u=1+x$。

解： $u:1\to2$，

$$\int_0^1\ln(1+x)\,dx=\Big[u\ln u-u\Big]_1^2=(2\ln2-2)-(0-1)=2\ln2-1$$

区间长度是 $1$，所以平均值就是 $2\ln2-1\approx0.386$。它在 $0$ 和 $\ln2\approx0.69$ 之间，合理。

变式 2 提示与解答

提示： 先算平均值，再让 $f(\xi)$ 等于它。

解： 平均值 $=\frac1a\int_0^ax^2dx=\frac{a^2}{3}$。

令 $\xi^2=\frac{a^2}{3}$，且 $\xi\in[0,a]$，得

$$\xi=\frac{a}{\sqrt3}$$

这就是积分中值定理里的那个 $\xi$。它约在区间的 $58\%$ 处，不在正中间，因为 $x^2$ 是凸的。

变式 3 提示与解答

提示： $\frac1n\sum$ 就是"$n$ 个函数值的算术平均"。想一想它是哪个函数在哪个区间上的平均值。

解： 把它看成 $\varphi(x)=\ln(2+2x)$ 在 $[0,1]$ 上的黎曼和，取右端点 $x_k=\frac kn$：

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\left(2+\frac{2k}{n}\right)=\int_0^1\ln(2+2x)\,dx$$

令 $u=2+2x$，$dx=\frac12du$，$u:2\to4$：

$$\int_0^1\ln(2+2x)\,dx=\frac12\int_2^4\ln u\,du=\frac12(6\ln2-2)=3\ln2-1$$

答案和真题一模一样。因为它就是"$\ln(2+x)$ 在 $[0,2]$ 上等距取点求平均"。第 7 题把同一个想法搬到了二维。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 平均值别忘了除以区间长度。
• 🧠 $\int\ln u\,du=u\ln u-u$：口诀"$u\ln u$ 减 $u$"。
• ⚠️ 自检：平均值一定在最小值和最大值之间。
• 🔗 $\frac1n\sum f\!\left(\frac kn\right)\to\int_0^1f$，就是"离散平均 → 积分平均"，和第 7 题是一家。

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第 16 题　规范形只有一项 ⇒ 秩为 1#

题目　设矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&b&-1\\a+2&3&-3a\end{pmatrix}$，若二次型 $x^T(AA^T)x$ 的规范形为 $y_1^2$，则 $a+b=$ ______。

做完再点开：答案

$2$

🧭 知识地图#

矩阵的秩 → 二次型的矩阵 → 惯性定理与规范形 → $r(AA^T)=r(A)$（核心工具） → 秩 1 矩阵 = 列 × 行

同一工具还用在：本卷第 9 题（矩阵方程 $AB=C$ 有解，要比秩）、第 22 题（满秩分解 $A=GH$，秩 1 矩阵是它最简单的情形）。

🔥 热身（2 分钟）#

热身 1　求二次型 $f=x_1^2+4x_1x_2+4x_2^2$ 的秩和规范形。

热身 2　设 $B=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}$，求 $r(B)$，再算 $BB^T$ 并求它的秩。

热身答案

热身 1： 秩 $1$，规范形 $y_1^2$。

配方：$f=(x_1+2x_2)^2$，只有一个平方项。也可以看矩阵 $\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$：秩为 1，特征值是 $5$ 和 $0$，一正一零。

热身 2： $r(B)=1$（第二行是第一行的 2 倍）。

$$BB^T=\begin{pmatrix}14&28\\28&56\end{pmatrix}$$

它的秩也是 $1$。

这两题正好对应真题的两件工具：规范形项数 = 秩，以及 $r(BB^T)=r(B)$。

👀 一眼看穿#

规范形只有 $y_1^2$ 一项，所以 $r(AA^T)=1$。

又 $r(AA^T)=r(A)$，所以 $r(A)=1$。

$A$ 只有两行，秩为 1 就是：两行成比例。列一个连等式就完了。

📚 知识点深度回顾#

① 规范形告诉你什么#

任何实二次型都能经可逆线性变换化成规范形：

$$y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2$$

惯性定理说：不管怎么化，$p$（正项个数）和 $r$（总项数）都不变。

• 总项数 $r$ = 二次型矩阵的秩；
• 正项个数 $p$ = 正惯性指数 = 正特征值的个数。

所以"规范形为 $y_1^2$"等于说：矩阵秩为 1，并且那个非零特征值是正的。

② 为什么 $r(A^TA)=r(A)$#

证明只要一句话：$Ax=0$ 和 $A^TAx=0$ 同解。

• 若 $Ax=0$，左乘 $A^T$ 得 $A^TAx=0$；
• 若 $A^TAx=0$，左乘 $x^T$ 得 $x^TA^TAx=\lVert Ax\rVert^2=0$，所以 $Ax=0$。

同解 ⇒ 解空间维数一样 ⇒ 秩一样。把 $A$ 换成 $A^T$，就得到 $r(AA^T)=r(A^T)=r(A)$。

注意：这里要求 $A$ 是实矩阵，因为用到了"平方和为 0 ⇒ 每项为 0"。

③ $AA^T$ 一定半正定#

$$x^T(AA^T)x=(A^Tx)^T(A^Tx)=\lVert A^Tx\rVert^2\ge0$$

所以 $AA^T$ 的规范形里不可能有负项。正惯性指数 = 秩。

这也是为什么题目只需给"项数"，不用担心正负。

④ 秩 1 矩阵长什么样#

秩 1 矩阵一定能写成"一列 × 一行"：$A=\alpha\beta^T$。

看成行：每一行都是 $\beta^T$ 的倍数，也就是所有行成比例（且不全为 0）。

规范形	$r(AA^T)$	对 $2\times3$ 的 $A$ 意味着
$y_1^2$	1	两行成比例
$y_1^2+y_2^2$	2	两行不成比例（行满秩）

⑤ 易错点#

• 规范形 ≠ 标准形。标准形系数可以是任意数，规范形系数只能是 $1,-1,0$。
• 写比例式时，分母为 0 要单独讨论。本题 $b$ 在分母上，求出 $b=1\neq0$，没问题。
• 别把 $AA^T$（$2\times2$）和 $A^TA$（$3\times3$）的阶数搞混。秩一样，阶数不一样。

✍️ 详细步骤#

第 1 步： 规范形只有一项 ⇒ $r(AA^T)=1$ ⇒ $r(A)=1$。

第 2 步： $r(A)=1$ ⇒ 第二行是第一行的倍数：

$$\frac{a+2}{1}=\frac{3}{b}=\frac{-3a}{-1}$$

第 3 步： 由第一、三项：$a+2=3a$，得 $a=1$。比例系数为 $3$。

第 4 步： 再由 $\frac3b=3$，得 $b=1$。

第 5 步：检验。 $A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\3&3&-3\end{pmatrix}$，确实秩为 1。

所以 $a+b=2$。

答案：$2$。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（直接模仿）　设 $A=\begin{pmatrix}1&a&2\\2&4&b\end{pmatrix}$，二次型 $x^T(A^TA)x$ 的规范形为 $y_1^2$，求 $a,b$。

变式 2（判断）　$A$ 是 $2\times3$ 实矩阵，$r(A)=2$。三元二次型 $x^T(A^TA)x$ 的规范形是什么？它正定吗？

变式 3（经典：由规范形定参数）　二次型 $f=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2a\,x_1x_2+2a\,x_1x_3+2a\,x_2x_3$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2$，求 $a$。

变式 1 提示与解答

提示： 这次是 $A^TA$，但 $r(A^TA)=r(A)$ 照样成立。

解： 规范形一项 ⇒ $r(A)=1$ ⇒ 两行成比例：

$$\frac21=\frac4a=\frac b2$$

比例系数为 $2$，所以 $a=2$，$b=4$。

变式 2 提示与解答

提示： 先定秩，再定正负。

解： $r(A^TA)=r(A)=2$，所以规范形有 2 项。

$A^TA$ 半正定，没有负项。所以规范形是 $y_1^2+y_2^2$。

它不正定：$A^TA$ 是 $3\times3$ 的，但秩只有 2，所以 $\lvert A^TA\rvert=0$，有一个特征值为 0。

一般地，$A^TA$ 正定 ⇔ $A$ 列满秩。这里 $A$ 只有 2 行，3 列不可能满秩。

变式 3 提示与解答

提示： 规范形 $y_1^2+y_2^2$ 有两层意思：秩为 2，并且两个非零特征值都是正的。

解： 二次型矩阵为

$$Q=\begin{pmatrix}2&a&a\\a&2&a\\a&a&2\end{pmatrix}=(2-a)E+aJ$$

其中 $J$ 是全 1 矩阵，特征值为 $3,0,0$。所以 $Q$ 的特征值为

$$2+2a,\quad 2-a,\quad 2-a$$

秩为 2 ⇒ 恰好一个特征值为 0：

• 若 $a=2$：特征值 $6,0,0$，秩为 1，规范形是 $y_1^2$，不符合；
• 若 $a=-1$：特征值 $0,3,3$，秩为 2，两个正，符合。

所以 $a=-1$。

这里只用 $\lvert Q\rvert=0$ 会得到 $a=-1$ 或 $a=2$ 两个值，必须再看秩，把 $a=2$ 排除掉。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 规范形几项 = 秩几；$r(AA^T)=r(A)$。
• 🧠 秩 1 矩阵 = 所有行成比例，列式子时写成连等比例最快。
• ⚠️ 只用行列式为 0 定参数会多出根，记得回头验秩。
• 🔗 秩 1 矩阵 $A=\alpha\beta^T$ 就是第 22 题满秩分解 $A=GH$ 的最简单版本。

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🔗 串联练习：把第 14、15、16 题连起来#

题目　取第 16 题求出的 $A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\3&3&-3\end{pmatrix}$，令三元二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x^T(A^TA)x$。

1. 把 $f$ 写成一个完全平方，说明它的规范形为什么是 $y_1^2$；
2. 设 $g(t)=f(t,\ t^2,\ 1)$，用链式法则求 $g'(1)$；
3. 求 $h(t)=f(t,0,0)$ 在 $[0,1]$ 上的平均值。

提示与解答

1. $A$ 的两行是 $\beta^T=(1,1,-1)$ 和 $3\beta^T$，所以

$$A^TA=\beta\beta^T+9\beta\beta^T=10\,\beta\beta^T$$

于是 $f=10\,(\beta^Tx)^2=10\,(x_1+x_2-x_3)^2$。

只有一个平方项，系数为正，所以规范形是 $y_1^2$。这和第 16 题"秩 1、半正定"完全对上。

2. 先求偏导：$f_{x_1}=f_{x_2}=20(x_1+x_2-x_3)$，$f_{x_3}=-20(x_1+x_2-x_3)$。

$t=1$ 时点被送到 $(1,1,1)$，此处 $x_1+x_2-x_3=1$，三个偏导依次为 $20,20,-20$。

内层导数：$(t)'=1$，$(t^2)'=2t=2$，$(1)'=0$。

$$g'(1)=20\cdot1+20\cdot2+(-20)\cdot0=60$$

（直接代入验证：$g(t)=10(t+t^2-1)^2$，$g'(1)=20\cdot1\cdot3=60$。）这是第 14 题的链式法则。

3. $h(t)=10t^2$，平均值为

$$\frac{1}{1-0}\int_0^110t^2\,dt=\frac{10}{3}$$

这是第 15 题的"积分 ÷ 区间长度"。

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📋 本篇速记总表#

题	考点	一句话钥匙	连到
14	全微分 + 链式法则	系数就是偏导；先看点被送到哪儿	第 3、19 题
15	函数的平均值	积分 ÷ 区间长度；$\int\ln u\,du=u\ln u-u$	第 7 题
16	规范形与秩	项数 = 秩；$r(AA^T)=r(A)$，秩 1 即成比例	第 9、22 题

✅ 自测清单#

• 我能说清为什么全微分的系数就是偏导数。
• 我能画出变量树，写出 $f(u(x),v(x))$ 的导数，并会算二阶混合偏导。
• 我能从黎曼和推出平均值公式，并记得除以区间长度。
• 我能默写 $\int\ln u\,du=u\ln u-u+C$，并用它检查答案是否在最值之间。
• 我能证明 $r(A^TA)=r(A)$，并解释 $AA^T$ 为什么半正定。
• 我知道用行列式定参数后要回头验秩。

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说明： 真题依据 2026 年全国硕士研究生招生考试数学（二）（2025 年 12 月考试），原题与参考答案见 ^[1]、^[2]。热身题和变式题为本文改编或选自经典题型。所有答案都已用 SymPy 验算。口诀只是记忆方法，不是官方结论。