2026考研数学二真题精讲③：选择题8–10（置换矩阵·矩阵方程·幂零矩阵）

2026 考研数学二 · 以练串学 ③｜选择题 8–10

这一篇是线性代数三连：置换矩阵与伴随、矩阵方程 $AB=C$ 有解的条件、由 $(A-B)^2=O$ 推出的一串结论。每道题都会带出一条"知识链"：先用热身题把底子补上，再拆真题，最后用 3 道变式题把同一个思路练熟。

建议用法

1. 先只看题目，自己做 2 分钟。答案是折叠的，做完再点开。
2. 卡住了，先做「热身」，再回来看真题。
3. 真题弄懂后，把「变式训练」从易到难做一遍。每道都有提示和完整解答。

所有答案都用代码（SymPy）重新验算过。

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第 8 题　置换矩阵：逆是置换，伴随不一定#

题目　单位矩阵经若干次互换两行得到的矩阵为置换矩阵。设 $A$ 为 $n$ 阶置换矩阵，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则（　）

(A) $A^*$ 为置换矩阵　　(B) $A^{-1}$ 为置换矩阵

(C) $A^{-1}=A^*$　　(D) $A^{-1}=-A^*$

做完再点开：答案

(B)　$A^{-1}$ 一定是置换矩阵；$A^*$ 会多一个正负号，不一定。

🧭 知识地图#

初等矩阵（交换两行）→ 行列式的符号 → 伴随公式 $A^*=\lvert A\rvert A^{-1}$（核心工具） → 正交矩阵 → $A^*$、$A^{-1}$、$A^T$ 三者互化

同一工具还用在：本卷第 22 题（求 $A^{10}$ 要先把矩阵"拆开"看结构），以及每年都会出现的"$A^*$ 的行列式、秩、特征值"小题。

🔥 热身（2 分钟）#

热身 1　$P$ 是把 3 阶单位矩阵的第 1、2 行交换得到的矩阵。求 $P^{-1}$、$\lvert P\rvert$ 和 $P^*$。

热身 2　$Q=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$。它是交换了几次得到的？求 $\lvert Q\rvert$、$Q^{-1}$、$Q^*$。

热身答案

热身 1： 交换两次等于没换，所以 $P^{-1}=P$。

交换一次，行列式变号，所以 $\lvert P\rvert=-1$。

于是 $P^*=\lvert P\rvert P^{-1}=-P$。也就是说，$P^*$ 里的 1 全变成了 $-1$，已经不是置换矩阵了。

热身 2： 先交换单位矩阵的第 1、2 行，再交换第 2、3 行，就得到 $Q$。一共 2 次，所以 $\lvert Q\rvert=1$。

置换矩阵的逆就是转置：$Q^{-1}=Q^T$。所以 $Q^*=\lvert Q\rvert Q^{-1}=Q^T$，这时 $Q^*$ 恰好还是置换矩阵。

两道热身放在一起看：$P^{-1}$、$Q^{-1}$ 都是置换矩阵，$P^*$ 和 $Q^*$ 一个是、一个不是。 真题考的就是这件事。

👀 一眼看穿#

置换矩阵 = 若干个"交换两行"的初等矩阵相乘。

每个交换矩阵的逆是它自己，所以逆还是一串交换矩阵的乘积。

而伴随矩阵会带上行列式的正负号。正负取决于交换了奇数次还是偶数次，题目没说。

图：交换一次（奇数次）时，伴随矩阵出现 −1（Python 绘制）

📚 知识点深度回顾#

① 交换矩阵 $E_{ij}$ 是什么#

把单位矩阵的第 $i$、$j$ 行交换，得到 $E_{ij}$。

• 左乘 $E_{ij}$：交换别人的第 $i$、$j$ 行；
• 右乘 $E_{ij}$：交换别人的第 $i$、$j$ 列。

它有三个性质，都很好理解：

• $E_{ij}^{-1}=E_{ij}$：换两次，换回原样；
• $E_{ij}^T=E_{ij}$：它本身是对称的；
• $\lvert E_{ij}\rvert=-1$：交换两行，行列式变号。

② 置换矩阵的长相和性质#

置换矩阵：每行、每列都恰好有一个 1，其余都是 0。

设 $A=P_1P_2\cdots P_s$，每个 $P_k$ 都是交换矩阵。那么：

• 行列式： $\lvert A\rvert=(-1)^s$，只能是 $\pm1$；
• 逆： $A^{-1}=P_s\cdots P_1$，还是一串交换矩阵的乘积，所以还是置换矩阵；
• 正交： 每一列是一个"单位坐标向量"，不同列的 1 在不同位置，所以列与列两两正交、长度为 1。也就是说 $A^TA=E$，即 $A^{-1}=A^T$。

③ 伴随公式为什么成立#

$A$ 乘 $A^*$，第 $i$ 行第 $j$ 列是"第 $i$ 行元素 × 第 $j$ 行的代数余子式"之和：

• $i=j$ 时，就是按第 $i$ 行展开，结果是 $\lvert A\rvert$；
• $i\ne j$ 时，相当于一个有两行相同的行列式，结果是 0。

所以

$$AA^*=A^*A=\lvert A\rvert E$$

$A$ 可逆时，两边左乘 $A^{-1}$：

$$A^*=\lvert A\rvert A^{-1}$$

④ 常用结论表（$A$ 为 $n$ 阶可逆）#

量	结论
$A^*$	$\lvert A\rvert A^{-1}$
$\lvert A^*\rvert$	$\lvert A\rvert^{n-1}$
$(A^*)^{-1}$	$\frac{1}{\lvert A\rvert}A$
$(A^*)^*$	$\lvert A\rvert^{n-2}A$
正交矩阵 $Q$	$Q^*=\lvert Q\rvert Q^T=\pm Q^T$

⑤ 易错点#

• "逆"和"伴随"只差一个数，但这个数可能是负的。 置换矩阵的 $\lvert A\rvert=-1$ 时，$A^*=-A^{-1}$，所有的 1 变成 $-1$。
• 题目说"若干次"，就是次数不定，奇偶都有可能。选项里凡是要靠奇偶才能成立的，都不选。

✍️ 详细步骤#

第 1 步：写成乘积。 设 $A=P_1P_2\cdots P_s$，每个 $P_k$ 是交换矩阵。

第 2 步：求逆。 乘积的逆要倒过来乘，而每个 $P_k^{-1}=P_k$：

$$A^{-1}=P_s^{-1}\cdots P_1^{-1}=P_s\cdots P_1$$

它仍是一串交换矩阵的乘积，所以是置换矩阵。(B) 对。

第 3 步：看伴随。 用伴随公式：

$$A^*=\lvert A\rvert A^{-1}=(-1)^sA^{-1}$$

正负号取决于 $s$ 的奇偶，题目没给，所以 (A)(C)(D) 都不一定成立。

第 4 步：举反例确认。

• $n=2$，$A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$，交换 1 次，$\lvert A\rvert=-1$，$A^*=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}=-A^{-1}$。它不是置换矩阵，(A)(C) 错。
• $A=E$（同一对行交换两次），$A^*=A^{-1}=E$，(D) 错。

答案：(B)。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（直接模仿）　$A$ 是把 4 阶单位矩阵先交换第 1、2 行，再交换第 3、4 行得到的矩阵。求 $\lvert A\rvert$、$A^{-1}$ 和 $A^*$。

变式 2（判断题）　$A$ 是 $n$ 阶置换矩阵。下列结论一定成立的有哪些？

① $A^TA=E$　② $A^2=E$　③ $(A^*)^2=E$　④ $A^*$ 是正交矩阵

变式 3（经典难题）　$A$ 是 3 阶非零实矩阵，每个元素都等于自己的代数余子式，即 $a_{ij}=A_{ij}$。证明 $\lvert A\rvert=1$，且 $A$ 是正交矩阵。

变式 1 提示与解答

提示： 数交换次数定符号；两次交换互不干扰，每次都是"自己的逆"。

解： 交换了 2 次，所以 $\lvert A\rvert=(-1)^2=1$。

$A=E_{34}E_{12}$。这两个交换动的是不同的行，先后顺序无所谓，所以

$$A^{-1}=E_{12}E_{34}=E_{34}E_{12}=A$$

于是 $A^*=\lvert A\rvert A^{-1}=A$。

具体写出来：

$$A=A^{-1}=A^*=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}$$

变式 2 提示与解答

提示： 想想 3 阶的"轮换"矩阵 $Q$（就是热身 2 那个）。

解： ①④ 一定成立，②③ 不一定。

• ① 对：置换矩阵是正交矩阵。
• ② 错：热身 2 的 $Q$ 把三个位置"转一圈"，$Q^2\ne E$（要 $Q^3$ 才等于 $E$）。只有交换的是互不相干的几对行时，才有 $A^2=E$。
• ③ 错：$(A^*)^2=\lvert A\rvert^2A^{-2}=A^{-2}$。对 $Q$ 来说 $Q^{-2}=Q\ne E$。
• ④ 对：$A^*=\pm A^T$，而 $A^T$ 是正交矩阵，加个负号还是正交矩阵。

变式 3 提示与解答

提示： $a_{ij}=A_{ij}$ 翻译成矩阵语言，就是 $A^*=A^T$（注意伴随矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列放的是 $A_{ji}$）。

解：

第 1 步： 由 $A^*=A^T$ 和 $AA^*=\lvert A\rvert E$，得

$$AA^T=\lvert A\rvert E$$

第 2 步： 两边取行列式，左边是 $\lvert A\rvert^2$，右边是 $\lvert A\rvert^3$。所以 $\lvert A\rvert=0$ 或 $\lvert A\rvert=1$。

第 3 步： 排除 $\lvert A\rvert=0$。若 $\lvert A\rvert=0$，则 $AA^T=O$。看对角线：$AA^T$ 的第 $i$ 个对角元是第 $i$ 行元素的平方和，它等于 0，说明这一行全是 0。每一行都这样，$A=O$，矛盾。

第 4 步： 所以 $\lvert A\rvert=1$，$AA^T=E$，$A$ 是正交矩阵。

例子：热身 2 的 $Q$、绕 $z$ 轴的旋转矩阵都满足这个条件。而 $-E$ 不满足（它的代数余子式全是 1，$\lvert -E\rvert=-1$）。

和真题同一条主线：看到伴随，先换成 $\lvert A\rvert A^{-1}$ 或 $AA^*=\lvert A\rvert E$。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 逆不带符号，伴随带 $\lvert A\rvert$。 凡是问 $A^*$ 和 $A^{-1}$ 的关系，先写 $A^*=\lvert A\rvert A^{-1}$。
• 🧠 置换矩阵 = 正交矩阵中"每行每列只有一个 1"的那种，$A^{-1}=A^T$，$\lvert A\rvert=(-1)^{\text{交换次数}}$。
• ⚠️ 题目说"若干次"，奇偶就是未知数。依赖奇偶的选项都不能选。
• 🔗 正交矩阵 $Q$：$Q^*=\pm Q^T$；再给 $\lvert Q\rvert=1$，就是 $Q^*=Q^T$。

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第 9 题　矩阵方程 $AB=C$ 有解 ⇔ 秩不变#

题目　设矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&1\\1&1&3\\1&1&1\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\\1&1\\a&b\end{pmatrix}$。若存在矩阵 $B$ 满足 $AB=C$，则（　）

(A) $a=-1,\ b=-1$　　(B) $a=2,\ b=2$

(C) $a=-1,\ b=2$　　(D) $a=2,\ b=-1$

做完再点开：答案

(A)　$a=b=-1$。

🧭 知识地图#

高斯消元 → 秩 → 非齐次方程组有解的判定 $r(A)=r(A,b)$（核心工具） → 矩阵方程 $AX=C$ → 解的唯一性与通解

同一工具还用在：本卷第 2 题（非齐次解的结构，"特解 + 齐次通解"）、第 16 题（规范形与秩），以及每年必考的"含参方程组"大题。

🔥 热身（2 分钟）#

热身　$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\2&3\end{pmatrix}$，$b=\begin{pmatrix}1\\2\\t\end{pmatrix}$。$t$ 取何值时 $Ax=b$ 有解？有解时求出解。

热身答案

观察：$A$ 的第 3 行 = 第 1 行 + 第 2 行。

所以方程有解，右边也必须满足同样的关系：$t=1+2=3$。

$t=3$ 时，前两个方程 $x_1+x_2=1$、$x_1+2x_2=2$ 解得 $x=(0,1)^T$。

这就是真题的工具：左边能消成全 0 的行，右边也必须是 0。 真题只是右边从一列变成了两列。

👀 一眼看穿#

$AB=C$ 就是把 $C$ 的每一列当作右端，解两个方程组：

$$Ax=c_1,\qquad Ax=c_2$$

有解 ⇔ $r(A)=r(A,C)$。做一次行变换就完了。

📚 知识点深度回顾#

① 矩阵方程 = 好几个方程组"打包"#

设 $B=(b_1,b_2)$，$C=(c_1,c_2)$。按列看，$AB=C$ 就是

$$Ab_1=c_1,\qquad Ab_2=c_2$$

两个方程组的系数矩阵都是 $A$，所以可以一起消元：把 $C$ 整个拼在 $A$ 右边，对 $(A,C)$ 做行变换。

② 为什么"秩不变"就是有解#

$Ax=c$ 有解，意思是 $c$ 能写成 $A$ 的列的组合。

• 能写成：把 $c$ 拼到 $A$ 后面，没有带来"新方向"，秩不变；
• 写不成：$c$ 带来了新方向，秩加 1。

所以：

$$AX=C\ \text{有解}\iff r(A)=r(A,C)$$

③ 解的个数看什么#

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，已知有解：

情况	结论
$r(A)=n$（列满秩）	解唯一
$r(A)<n$	无穷多解，差一个齐次解
求 $XA=C$	两边转置，变成 $A^TX^T=C^T$

④ 易错点#

• 只用了 $C$ 的一列来判断。每一列都要满足，所以一般会得到好几个条件。
• 做行变换时只变了 $A$，忘了同时变 $C$。拼在一起变，就不会漏。
• $XA=C$ 直接对 $(A,C)$ 做行变换是错的。要先转置。

✍️ 详细步骤#

第 1 步：拼增广矩阵。 左边 3 列是 $A$，右边 2 列是 $C$：

$$\begin{pmatrix}1&0&1&2&0\\0&0&1&1&1\\1&1&3&1&1\\1&1&1&a&b\end{pmatrix}$$

第 2 步：消第 1 列。 $r_3-r_1$ 得 $(0,1,2,\ -1,1)$；$r_4-r_1$ 得 $(0,1,0,\ a-2,b)$。

第 3 步：消第 2 列。 新 $r_4$ 减新 $r_3$，得 $(0,0,-2,\ a-1,b-1)$。

第 4 步：消第 3 列。 再加 2 倍的第 2 行 $(0,0,1,1,1)$，得到

$$(0,\ 0,\ 0,\ a+1,\ b+1)$$

整理行的顺序后：

$$\begin{pmatrix}1&0&1&2&0\\0&1&2&-1&1\\0&0&1&1&1\\0&0&0&a+1&b+1\end{pmatrix}$$

第 5 步：用秩判定。 左边 3 列已经有 3 个主元，$r(A)=3$。要 $r(A,C)=3$，最后一行右边必须全为 0：

$$a+1=0,\qquad b+1=0$$

所以 $a=b=-1$。

顺便一提：$r(A)=3$ 等于 $A$ 的列数，所以 $B$ 唯一，算出来是 $B=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&-1\\1&1\end{pmatrix}$。

答案：(A)。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（直接模仿）　$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\1&2\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\\a&b\end{pmatrix}$。$a,b$ 取何值时存在 $X$ 使 $AX=C$？求出 $X$。

变式 2（逆向：$X$ 在左边）　$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$。$XA=C$ 有没有解？解唯一吗？写出所有解。

变式 3（经典难题，2013 年真题）　$A=\begin{pmatrix}1&a\\1&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&1\\1&b\end{pmatrix}$。$a,b$ 取何值时，存在矩阵 $C$ 使 $AC-CA=B$？求出所有这样的 $C$。

变式 1 提示与解答

提示： 和热身一样，先找 $A$ 的行之间的关系。

解： $A$ 的第 3 行 = 第 1 行 + 第 2 行，$r(A)=2$。

所以 $C$ 的第 3 行也必须 = 第 1 行 + 第 2 行：

$$a=1+2=3,\qquad b=2+1=3$$

此时只需解前两行。第 1 列：$x_2=2$，$x_1=1-2=-1$；第 2 列：$x_2=1$，$x_1=2-1=1$。

$$X=\begin{pmatrix}-1&1\\2&1\end{pmatrix}$$

$r(A)=2$ 等于列数，所以 $X$ 唯一。

变式 2 提示与解答

提示： 转置成 $A^TX^T=C^T$，再按列解。

解： $A^T=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$，秩为 2，等于行数。

所以对任何右端都有解，一定有解。

但 $A^T$ 有 3 列、秩只有 2，所以解不唯一。齐次方程 $A^Ty=0$ 的基础解系是 $(1,1,-1)^T$。

$X$ 的第 1 行 $x$ 满足 $xA=(1,2)$，即 $x_1+x_3=1$，$x_2+x_3=2$。特解取 $(1,2,0)$。第 2 行同理，特解取 $(3,4,0)$。

所以全部解为（$k_1,k_2$ 任意）：

$$X=\begin{pmatrix}1+k_1&2+k_1&-k_1\\3+k_2&4+k_2&-k_2\end{pmatrix}$$

变式 3 提示与解答

提示： 设 $C=\begin{pmatrix}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{pmatrix}$，把矩阵方程拆成 4 个普通方程，再用"秩不变"判定。

解：

第 1 步： 展开 $AC-CA=B$，比较 4 个位置：

$$\begin{cases}-x_2+ax_3=0\\-ax_1+x_2+ax_4=1\\x_1-x_3-x_4=1\\x_2-ax_3=b\end{cases}$$

第 2 步： 第 1、4 个方程左边只差一个负号。相加得 $0=b$，所以 $b=0$。

第 3 步： 用第 1 个方程 $x_2=ax_3$ 和第 3 个方程 $x_1=1+x_3+x_4$，代入第 2 个：

$$-a(1+x_3+x_4)+ax_3+ax_4=1\ \Rightarrow\ -a=1$$

所以 $a=-1$。

第 4 步： $a=-1,b=0$ 时，方程组的系数矩阵和增广矩阵秩都是 2，有无穷多解。令 $x_3=k_1$，$x_4=k_2$：

$$C=\begin{pmatrix}1+k_1+k_2&-k_1\\k_1&k_2\end{pmatrix}$$

（$k_1,k_2$ 任意。）

和真题本质相同：矩阵方程 → 普通方程组 → 看秩是否不变。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 $AX=C$ 有解 ⇔ $r(A)=r(A,C)$。 和 $Ax=b$ 完全一样，只是右边多了几列。
• 🧠 选择题小技巧：最后一行化成 $(0,0,0,\ a+1,\ b+1)$，说明 $a,b$ 必须相等，一眼排除 C、D。
• ⚠️ $XA=C$ 要先转置成 $A^TX^T=C^T$，不能直接对 $(A,C)$ 做行变换。
• 🔗 解唯一看 $r(A)$ 是否等于列数；不唯一时，通解 = 特解 + 齐次通解（和第 2 题同一个结构）。

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第 10 题　$AB+BA=A^2+B^2$ 的秘密：$(A-B)^2=O$#

题目　设 3 阶矩阵 $A,B$ 满足 $AB+BA=A^2+B^2$，且 $A\ne B$。则下列结论错误的是（　）

(A) $(A-B)^3=O$　　(B) $A-B$ 只有零特征值

(C) $A,B$ 不能都是对角矩阵　　(D) $A-B$ 只有一个线性无关的特征向量

做完再点开：答案

(D)　$A-B$ 有 2 个线性无关的特征向量。

🧭 知识地图#

矩阵乘法不交换 → 展开 $(A\pm B)^2$ → 幂零矩阵 $N^2=O$ 三件套（核心工具） → 秩不等式 $r(A)+r(B)\le n$ → 特征向量个数 $=n-r$ → 能否对角化

同一工具还用在：本卷第 22 题（$A=GH$ 满秩分解后求 $A^{10}$，本质也是"先算 $HG$ 这个小矩阵"）、第 16 题（秩的计算）。

🔥 热身（2 分钟）#

热身 1　$J=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$。求 $J^2$、$J^3$、$r(J)$，以及 $J$ 有几个线性无关的特征向量。

热身 2　不假设 $AB=BA$，展开 $(A+B)^2$ 和 $(A-B)(A+B)$。哪个能写成"中学公式"的样子？

热身答案

热身 1： $J$ 每乘一次，1 就往右上角挪一格：

$$J^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\ne O,\qquad J^3=O$$

$r(J)=2$，特征值全是 0，特征向量个数 $=3-r(J)=1$。

注意：$J$ 只有一个特征向量，但它的 $J^2\ne O$。真题里 $N^2=O$，情况就不一样了。

热身 2：

$$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$$

$$(A-B)(A+B)=A^2+AB-BA-B^2$$

第一个是按顺序展开，一定成立，只是 $AB+BA$ 不能合并成 $2AB$。

第二个想写成 $A^2-B^2$，需要 $AB=BA$。

真题就是靠第一类展开"凑"出 $(A-B)^2$。

👀 一眼看穿#

移项：$A^2-AB-BA+B^2=O$。

左边正好是 $(A-B)^2$。矩阵乘法不交换，但这个展开本来就不需要交换律。

令 $N=A-B$，则 $N^2=O$，$N\ne O$。四个选项都围绕 $N$ 展开。

📚 知识点深度回顾#

① 幂零矩阵是什么#

存在正整数 $k$ 使 $N^k=O$，就叫幂零矩阵。

本题是最简单的情况：$N^2=O$。

② 三件套之一：特征值全为 0#

设 $N\xi=\lambda\xi$，$\xi\ne0$。两边再左乘 $N$：

$$N^2\xi=\lambda N\xi=\lambda^2\xi$$

左边是 0，$\xi\ne0$，所以 $\lambda^2=0$，$\lambda=0$。

推论：$\operatorname{tr}N=0$，$\lvert N\rvert=0$，$\lvert E+N\rvert=1$。

③ 三件套之二：$r(N)\le\frac n2$#

先记一个工具：若 $AB=O$（$A$ 有 $n$ 列），则

$$r(A)+r(B)\le n$$

为什么？$AB=O$ 说明 $B$ 的每一列都是 $Ax=0$ 的解。解空间只有 $n-r(A)$ 维，所以 $r(B)\le n-r(A)$。

把 $A,B$ 都换成 $N$：$2r(N)\le n$。

④ 三件套之三：特征向量个数 $=n-r(N)$#

特征值只有 0，特征向量就是 $Nx=0$ 的非零解。

基础解系里有 $n-r(N)$ 个向量，所以线性无关的特征向量有 $n-r(N)$ 个。

⑤ 一个重要推论：$N\ne O$ 不能对角化#

如果能对角化，对角线上只能放特征值 0，那 $N$ 就相似于 $O$，只能是 $O$ 本身。

所以非零幂零矩阵一定不能对角化。

⑥ 3 阶 $N^2=O$ 的情况表#

$N$	$r(N)$	特征向量个数
$N=O$	0	3
$N\ne O$	1（因为 $2r\le3$）	2

✍️ 详细步骤#

第 1 步：凑平方。 由条件 $A^2-AB-BA+B^2=O$，即 $N^2=O$，其中 $N=A-B\ne O$。

第 2 步：逐个看选项。

• (A) 对： $N^3=N\cdot N^2=O$。
• (B) 对： 由三件套之一，特征值只有 0。
• (C) 对： 若 $A,B$ 都是对角阵，$N$ 也是对角阵。$N^2=O$ 意味着每个对角元的平方为 0，所以 $N=O$，与 $A\ne B$ 矛盾。
• (D) 错： $2r(N)\le3$ 推出 $r(N)\le1$；又 $N\ne O$，所以 $r(N)=1$。线性无关特征向量个数 $=3-1=2$，不是 1。

第 3 步：举例确认。 取

$$A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad B=O$$

满足条件。$A-B$ 的特征向量有 $(1,0,0)^T$、$(0,0,1)^T$ 两个。

答案：(D)。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（换阶数）　$N$ 是 4 阶矩阵，$N^2=O$，$N\ne O$。$r(N)$ 可能是多少？对应有几个线性无关的特征向量？各举一例。

变式 2（判断题）　$N$ 是 $n$ 阶矩阵，$N^2=O$，$N\ne O$。判断：

① $N$ 不能对角化　② $E+N$ 可逆，且 $(E+N)^{-1}=E-N$　③ $\operatorname{tr}N=0$　④ $\lvert E+N\rvert=2$

变式 3（综合）　$\alpha=(1,1,1)^T$，$\beta=(1,-2,1)^T$，$A=\alpha\beta^T$。

1. 求 $A^2$；
2. 求 $A$ 的特征值和线性无关的特征向量，判断能否对角化；
3. 求 $(E+A)^{10}$。

变式 1 提示与解答

提示： $2r(N)\le4$，再去掉 $r=0$。

解： $r(N)\le2$，又 $N\ne O$，所以 $r(N)=1$ 或 $2$。

• $r(N)=1$：例如只有 $(1,2)$ 位置是 1，其余是 0。特征向量 $4-1=3$ 个。
• $r(N)=2$：例如 $(1,2)$ 和 $(3,4)$ 位置是 1，其余是 0。特征向量 $4-2=2$ 个。

这说明：阶数一变，答案就不是唯一的了。3 阶时只能是 $r=1$，这正是真题能判定 (D) 错的原因。

变式 2 提示与解答

提示： ② 直接把两个矩阵乘一下。

解： ①②③ 对，④ 错。

• ① 对：非零幂零矩阵不能对角化。
• ② 对：$(E+N)(E-N)=E-N^2=E$。（$E$ 和谁都交换，所以这里可以用平方差。）
• ③ 对：迹 = 特征值之和 = 0。
• ④ 错：$E+N$ 的特征值都是 $1+0=1$，所以 $\lvert E+N\rvert=1$。

变式 3 提示与解答

提示： 先算 $\beta^T\alpha$。它是一个数。

解：

1. $\beta^T\alpha=1-2+1=0$。所以

$$A^2=\alpha(\beta^T\alpha)\beta^T=0\cdot\alpha\beta^T=O$$

2. $A^2=O$，特征值全为 0。

$A$ 的每一行都是 $(1,-2,1)$，$r(A)=1$。特征向量是 $x_1-2x_2+x_3=0$ 的非零解，基础解系为

$$(2,1,0)^T,\qquad(-1,0,1)^T$$

共 2 个，少于 3 个，不能对角化。

3. $E$ 和 $A$ 可交换，可以用二项式展开。$A^2=O$ 以后的项全没了：

$$(E+A)^{10}=E+10A=\begin{pmatrix}11&-20&10\\10&-19&10\\10&-20&11\end{pmatrix}$$

"列向量 × 行向量"的矩阵，算幂只要先算"行向量 × 列向量"这个数。这和第 22 题求 $A^{10}$ 是同一个想法。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 看到 $A^2+B^2$ 和 $AB+BA$ 同时出现，马上凑 $(A-B)^2$ 或 $(A+B)^2$。 这两个展开不依赖交换律。
• 🧠 $N^2=O$ 三件套：特征值全 0；$r(N)\le\frac n2$；特征向量 $n-r(N)$ 个。
• ⚠️ 别和 $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ 混了，这个需要 $AB=BA$。
• 🔗 非零幂零矩阵一定不能对角化；$\alpha\beta^T$ 在 $\beta^T\alpha=0$ 时就是现成的幂零矩阵。

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🔗 串联练习：把第 8、9、10 题连起来#

题目　$N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$（就是第 10 题的反例），$P$ 是交换 3 阶单位矩阵第 1、2 行得到的置换矩阵。

1. 设 $C=\begin{pmatrix}1&a\\0&0\\0&b\end{pmatrix}$。$a,b$ 满足什么条件时 $NX=C$ 有解？解唯一吗？
2. 求 $M=PNP^{-1}$，并验证 $M^2=O$。
3. 把 $P$ 换成它的伴随 $P^*$，计算 $P^*N(P^*)^{-1}$。结果和 $M$ 一样吗？为什么？

提示与解答

1.（第 9 题工具） 拼 $(N,C)$：

$$\begin{pmatrix}0&1&0&1&a\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&b\end{pmatrix}$$

$r(N)=1$。要秩不变，第 3 行右边必须为 0：$b=0$，$a$ 任意。

此时 $X$ 的第 2 行必须是 $(1,a)$，第 1、3 行随便取。$r(N)=1<3$，解不唯一：

$$X=\begin{pmatrix}u_1&u_2\\1&a\\v_1&v_2\end{pmatrix}\quad(u_1,u_2,v_1,v_2\ \text{任意})$$

2.（第 8 题工具） $P^{-1}=P$。左乘 $P$ 交换第 1、2 行，右乘 $P$ 交换第 1、2 列：

$$M=PNP=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$

$M^2=PN^2P^{-1}=O$。相似变换不改变 $N^2=O$，所以第 10 题的三件套对 $M$ 照样成立。

3.（第 8 题的符号陷阱） $\lvert P\rvert=-1$，$P^*=-P$。所以

$$P^*N(P^*)^{-1}=(-P)N(-P)^{-1}=PNP^{-1}=M$$

结果一样。两个负号抵消了。也就是说：伴随虽然多一个符号，但在"夹心"乘法里，这个符号前后各出现一次，自动消掉。

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📋 本篇速记总表#

题	考点	一句话钥匙	连到
8	置换矩阵、伴随	逆不带符号，伴随带 $\lvert A\rvert$	第 22 题
9	矩阵方程有解	$r(A)=r(A,C)$，每列都要满足	第 2、16 题
10	幂零矩阵	凑 $(A-B)^2=O$；特征向量数 $=n-r$	第 16、22 题

✅ 自测清单#

• 我能说出交换矩阵的三个性质：逆是自己、转置是自己、行列式是 $-1$。
• 我能从 $AA^*=\lvert A\rvert E$ 推出 $A^*=\lvert A\rvert A^{-1}$，并写出 $\lvert A^*\rvert$、$(A^*)^*$。
• 我能把 $AX=C$ 拆成按列的方程组，并用 $r(A)=r(A,C)$ 判断有解。
• 我知道 $XA=C$ 要先转置。
• 我能证明 $N^2=O$ 时特征值全 0、$r(N)\le\frac n2$。
• 我知道非零幂零矩阵为什么不能对角化。

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说明： 真题依据 2026 年全国硕士研究生招生考试数学（二）（2025 年 12 月考试），原题与参考答案见 ^[1]、^[2]。热身题和变式题为本文改编或选自经典题型。所有答案都已用 SymPy 验算。口诀只是记忆方法，不是官方结论。