2026考研数学二真题精讲①：选择题1–4（等价无穷小·解的结构·隐函数·引力）

2026 考研数学二 · 以练串学 ①｜选择题 1–4

这一篇不只讲 4 道题。每道题都会带出一条"知识链"：先用热身题把底子补上，再拆真题，最后用 3 道变式题把同一个思路练熟。

建议用法

1. 先只看题目，自己做 2 分钟。答案是折叠的，做完再点开。
2. 卡住了，先做「热身」，再回来看真题。
3. 真题弄懂后，把「变式训练」从易到难做一遍。每道都有提示和完整解答。

所有答案都用代码（SymPy）重新验算过。

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第 1 题　等价无穷小定参数#

题目　当 $x\to0$ 时，$ax^2+bx+\arcsin x$ 与 $\sqrt[3]{1+x^2}-1$ 是等价无穷小，则（　）

(A) $a=\frac13,\ b=-1$　　(B) $a=\frac13,\ b=1$

(C) $a=\frac23,\ b=-1$　　(D) $a=\frac23,\ b=1$

做完再点开：答案

(A)　$a=\frac13$，$b=-1$。

🧭 知识地图#

极限的四则运算 → 等价无穷小 → 泰勒展开（核心工具） → 无穷小的阶 → 定参数题

同一套工具还会用在：本卷第 12 题（∞−∞ 型极限），以及每年必考的"求极限"大题。

🔥 热身（2 分钟）#

热身 1　求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}$。

热身 2　求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+2x^2}-1}{x^2}$。

热身答案

热身 1： $\frac16$。因为 $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，所以 $x-\sin x\sim\frac{x^3}{6}$。

热身 2： $1$。用 $(1+u)^\alpha-1\sim\alpha u$，取 $u=2x^2$，$\alpha=\frac12$，分子 $\sim x^2$。

这两题正好对应真题要用的两件工具：泰勒展开和幂函数的等价。

👀 一眼看穿#

右边大约是 $\frac13x^2$，是个"二阶小量"。

左边想和它等价，必须做到两件事：

• 比 $x^2$ 低阶的项（也就是 $x$ 的一次项）必须消掉；
• $x^2$ 项的系数必须正好是 $\frac13$。

所以这是一道"展开后对系数"的题。

图：取 a=1/3、b=−1 时，两条曲线在 0 附近几乎重合（Python 绘制）

📚 知识点深度回顾#

① 等价无穷小到底在比什么#

$\alpha\sim\beta$ 的意思是 $\lim\frac{\alpha}{\beta}=1$。

换个角度理解：两个无穷小的**"最大的那一项"完全一样**。

比如 $x\to0$ 时，$x^2+x^5$ 的"最大项"是 $x^2$，后面的 $x^5$ 小到可以忽略。

② 为什么定参数题一定要用泰勒展开#

等价无穷小替换只能处理"乘除"。一旦式子里有"加减"，替换可能出错。

例如 $\tan x-\sin x$：如果直接把两项都换成 $x$，会得到 $0$，这是错的。

泰勒展开把每一项都拆成 $x,\ x^2,\ x^3,\dots$ 的组合，加减就变成合并同类项，不会出错。

③ 必背的展开式（$x\to0$）#

函数	展开到 $x^3$
$\sin x$	$x-\frac{x^3}{6}$
$\arcsin x$	$x+\frac{x^3}{6}$
$\tan x$	$x+\frac{x^3}{3}$
$\arctan x$	$x-\frac{x^3}{3}$
$\ln(1+x)$	$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$
$e^x$	$1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$
$(1+x)^\alpha$	$1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2$

怎么记： $\sin$ 和 $\arcsin$ 的三次项只差一个符号，$\tan$ 和 $\arctan$ 也是。"反"函数把符号反过来。

④ 展开到第几项？#

看对手。对方是几阶，你就展开到几阶。

本题右边是二阶，左边展开到 $x^2$ 就够了。写到 $x^3$ 只是为了更放心。

✍️ 详细步骤#

第 1 步：展开左边。

$$ax^2+bx+\arcsin x=(b+1)\,x+a\,x^2+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$$

第 2 步：消掉一次项。

右边是二阶小量。如果左边还剩一次项，两边相除会趋于无穷，不可能等于 1。

所以 $b+1=0$，即 $b=-1$。

第 3 步：对齐二次项。

现在左边 $=a x^2+o(x^2)$，右边 $\sim\frac13x^2$。两者相除的极限是 $3a$，令它等于 1，得到 $a=\frac13$。

答案：(A)。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（换一个函数）　当 $x\to0$ 时，$ax+bx^2+\ln(1+x)$ 与 $x^2$ 等价，求 $a,b$。

变式 2（判断阶数）　当 $x\to0$ 时，$\tan x-\sin x$ 是 $x$ 的几阶无穷小？

变式 3（经典难题）　确定 $a,b$，使得 $x-(a+b\cos x)\sin x$ 是 $x$ 的 5 阶无穷小。

变式 1 提示与解答

提示： 和真题一模一样，只是把 $\arcsin x$ 换成 $\ln(1+x)$。

解： $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，所以

$$ax+bx^2+\ln(1+x)=(a+1)\,x+\left(b-\tfrac12\right)x^2+o(x^2)$$

一次项消掉：$a=-1$。二次项系数为 1：$b-\frac12=1$，所以 $b=\frac32$。

变式 2 提示与解答

提示： 这里是"减法"，不能把两项都直接换成 $x$。

解： 展开到三次：

$$\tan x-\sin x=\left(x+\tfrac{x^3}{3}\right)-\left(x-\tfrac{x^3}{6}\right)+o(x^3)=\frac{x^3}{2}+o(x^3)$$

所以它是 3 阶无穷小，并且 $\tan x-\sin x\sim\frac{x^3}{2}$。

另一种写法：$\tan x-\sin x=\tan x\,(1-\cos x)\sim x\cdot\frac{x^2}{2}$。先提公因式变成乘法，就能放心用等价替换。

变式 3 提示与解答

提示： 要成为 5 阶，$x$ 和 $x^3$ 的系数都必须是 0。

解： 先展开 $\cos x\sin x=\frac12\sin 2x=x-\frac{2}{3}x^3+o(x^3)$，以及 $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$。于是

$$x-(a+b\cos x)\sin x=(1-a-b)\,x+\left(\frac a6+\frac{2b}{3}\right)x^3+o(x^3)$$

令两个系数都为 0：

$$1-a-b=0,\qquad \frac a6+\frac{2b}{3}=0$$

解得 $a=\frac43$，$b=-\frac13$。代回去再展开，第一个非零项是 $\frac{x^5}{30}$，确实是 5 阶。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 定参数口诀：低阶全消，首项对齐。
• 🧠 加减用泰勒，乘除用等价。
• ⚠️ 加减里直接做等价替换，是这类题最常见的丢分点。

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第 2 题　非齐次线性方程：解的"系数和"#

题目　设 $y_1(x),y_2(x)$ 是某二阶非齐次线性微分方程的两个特解。若常数 $\lambda,\mu$ 使 $2\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解，$\lambda y_1-2\mu y_2$ 是对应齐次方程的解，则（　）

(A) $\lambda=\frac15,\ \mu=\frac25$　　(B) $\lambda=\frac25,\ \mu=\frac15$

(C) $\lambda=\frac14,\ \mu=\frac12$　　(D) $\lambda=\frac12,\ \mu=\frac14$

做完再点开：答案

(B)　$\lambda=\frac25$，$\mu=\frac15$。

🧭 知识地图#

线性运算 → 线性算子 $L[y]$ → 齐次解可以叠加 → 非齐次通解 = 齐次通解 + 一个特解

下游：本卷第 21 题（解微分方程）；以及"已知几个特解，反求方程或通解"的经典题。

🔥 热身（1 分钟）#

热身　设 $L[y]=y'-y$。已知 $L[e^{2x}]=e^{2x}$，求 $L[3e^{2x}]$ 和 $L[e^{2x}-e^{2x}]$。

热身答案

$L[3e^{2x}]=3e^{2x}$，$L[0]=0$。

这就是"线性"的意思：系数可以提出来，加法可以拆开。 真题考的正是这一点。

👀 一眼看穿#

不用解方程。只看组合的系数加起来等于几。

📚 知识点深度回顾#

① 把方程看成一台"机器"#

记 $L[y]=y''+p(x)y'+q(x)y$。

• 非齐次方程：$L[y]=f(x)$，其中 $f\not\equiv0$；
• 齐次方程：$L[y]=0$。

这台机器是线性的：

$$L[k_1y_1+k_2y_2]=k_1L[y_1]+k_2L[y_2]$$

② 系数和决定"身份"#

如果 $y_1,y_2$ 都满足 $L[y]=f$，那么

$$L[k_1y_1+k_2y_2]=(k_1+k_2)\,f$$

• 系数和 $=1$：结果还是 $f$，组合仍是非齐次解；
• 系数和 $=0$：结果是 $0$，组合变成齐次解；
• 其他情况：两种解都不是。

③ 通解的结构#

非齐次通解 = 齐次通解 + 任意一个非齐次特解。

二阶齐次方程的通解需要两个线性无关的齐次解。

✍️ 详细步骤#

第 1 步： $2\lambda y_1+\mu y_2$ 是非齐次解，所以系数和为 1：$2\lambda+\mu=1$。

第 2 步： $\lambda y_1-2\mu y_2$ 是齐次解，所以系数和为 0：$\lambda-2\mu=0$，即 $\lambda=2\mu$。

第 3 步： 代入第 1 步：$4\mu+\mu=1$，得 $\mu=\frac15$，$\lambda=\frac25$。

答案：(B)。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（概念判断）　$y_1,y_2,y_3$ 是同一个非齐次方程的三个不同特解。判断 $y_1+y_2-y_3$ 和 $\frac{y_1+y_2}{2}$ 各是什么解。

变式 2（反求通解和方程）　二阶常系数方程 $y''+py'+qy=f(x)$ 有三个解：$1+x$，$1+x+e^x$，$1+x+e^{-x}$。求它的通解，并写出这个方程。

变式 3（一阶版本）　$y'+P(x)y=Q(x)$（$Q\not\equiv0$）有两个不同的解 $y_1,y_2$。用它们写出通解。

变式 1 提示与解答

提示： 只算系数和。

解： $y_1+y_2-y_3$ 的系数和是 $1+1-1=1$，是非齐次解。

$\frac{y_1+y_2}{2}$ 的系数和是 $\frac12+\frac12=1$，也是非齐次解。

变式 2 提示与解答

提示： 两个非齐次解相减，得到齐次解。

解： 相减得到两个齐次解：$e^x$ 和 $e^{-x}$，它们线性无关。

齐次通解是 $C_1e^x+C_2e^{-x}$，所以通解为

$$y=C_1e^x+C_2e^{-x}+1+x$$

再反求方程：齐次解是 $e^{\pm x}$，说明特征根为 $\pm1$，齐次部分是 $y''-y$。把特解 $1+x$ 代进去，得 $f(x)=0-(1+x)$。

所以方程是 $y''-y=-(1+x)$。

变式 3 提示与解答

提示： 一阶齐次方程的通解只需要一个非零齐次解。

解： $y_1-y_2$ 是一个非零的齐次解，所以齐次通解是 $C(y_1-y_2)$。

通解为

$$y=y_1+C\,(y_1-y_2)$$

🗂 记忆卡片#

• 🔑 系数和为 1，还是非齐次；系数和为 0，变成齐次。
• 🧠 两个非齐次解相减，就得到一个齐次解。这是"反求通解"题的第一步。
• 🔗 和第 21 题连起来看：先找齐次解，再加一个特解。

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第 3 题　隐函数求偏导#

题目　设 $z=z(x,y)$ 由方程 $x-az=e^{y+az}$（$a$ 为非零常数）确定，则（　）

(A) $z_x-z_y=\frac1a$　　(B) $z_x+z_y=\frac1a$

(C) $z_x-z_y=-\frac1a$　　(D) $z_x+z_y=-\frac1a$

做完再点开：答案

(A)　$z_x-z_y=\frac1a$。

🧭 知识地图#

一元复合求导 → 多元链式法则 → 隐函数求导（公式法 / 直接求导法）→ 二阶偏导、全微分

下游：本卷第 14 题（链式法则）、第 19 题（多元极值要先求偏导）。

🔥 热身（2 分钟）#

热身　$z=z(x,y)$ 由 $x^2+y^2+z^2=4z$ 确定，求 $z_x$。

热身答案

两边对 $x$ 求偏导，$z$ 看作 $x$ 的函数：

$$2x+2z\,z_x=4z_x$$

解出 $z_x=\dfrac{x}{2-z}$。

这就是"直接求导法"：把 $z$ 当成 $x,y$ 的函数，对整个等式求导，再解出 $z_x$。

👀 一眼看穿#

四个选项都是"$z_x\pm z_y$ 等于常数"。

这说明两个偏导的分母相同，加或减之后，分子会凑成分母。直接求出来就行。

📚 知识点深度回顾#

① 公式从哪里来#

设 $F(x,y,z)=0$ 确定了 $z=z(x,y)$。把 $z$ 代回去，$F$ 恒等于 0。对 $x$ 求偏导：

$$F_x+F_z\cdot z_x=0$$

所以

$$z_x=-\frac{F_x}{F_z},\qquad z_y=-\frac{F_y}{F_z}$$

条件是 $F_z\neq0$。这也是隐函数存在定理的核心条件。

② 两种方法怎么选#

• 公式法： 快。但要记住负号，而且 $F$ 要先把所有项移到同一边。
• 直接求导法： 慢一点，但不容易出错。求二阶偏导时更方便。

③ 常见坑#

• 漏掉负号；
• 求 $F_x$ 时，把 $z$ 也对 $x$ 求了导。这是错的：在公式法里，$x,y,z$ 是三个独立变量。

✍️ 详细步骤#

第 1 步： 移项。令 $F=x-az-e^{y+az}$。

第 2 步： 分别求偏导：

$$F_x=1,\qquad F_y=-e^{y+az},\qquad F_z=-a\left(1+e^{y+az}\right)$$

第 3 步： 代公式：

$$z_x=\frac{1}{a\left(1+e^{y+az}\right)},\qquad z_y=\frac{-e^{y+az}}{a\left(1+e^{y+az}\right)}$$

第 4 步： 相减，分子正好凑成分母：

$$z_x-z_y=\frac{1+e^{y+az}}{a\left(1+e^{y+az}\right)}=\frac1a$$

答案：(A)。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（经典结论）　$z=z(x,y)$ 由 $\varphi(x-az,\ y-bz)=0$ 确定，$\varphi$ 可微。证明 $a\,z_x+b\,z_y=1$。

变式 2（求值）　$z=z(x,y)$ 由 $z^3-3xyz=1$ 确定，求 $z_x(0,0)$ 和 $z_{xy}(0,0)$。

变式 3（选择题风格）　$z=z(x,y)$ 由 $x+y+z=e^{z}$ 确定，问 $z_x-z_y$ 等于多少？

变式 1 提示与解答

提示： 令 $u=x-az$，$v=y-bz$，用公式法。

解： $F=\varphi(u,v)$，所以

$$F_x=\varphi_1,\qquad F_y=\varphi_2,\qquad F_z=-a\varphi_1-b\varphi_2$$

于是 $z_x=\dfrac{\varphi_1}{a\varphi_1+b\varphi_2}$，$z_y=\dfrac{\varphi_2}{a\varphi_1+b\varphi_2}$。

$$a z_x+b z_y=\frac{a\varphi_1+b\varphi_2}{a\varphi_1+b\varphi_2}=1$$

和真题完全同一个思路：分母相同，分子凑成分母。

变式 2 提示与解答

提示： 先由 $x=y=0$ 求出 $z=1$。

解： 用公式法：

$$z_x=\frac{yz}{z^2-xy},\qquad z_y=\frac{xz}{z^2-xy}$$

在 $(0,0)$ 处 $z=1$，所以 $z_x(0,0)=0$。

再对 $z_x$ 求 $y$ 的偏导（$z$ 仍看作函数）。代入 $x=y=0$、$z=1$、$z_y=0$，得到 $z_{xy}(0,0)=1$。代码验算一致。

变式 3 提示与解答

解： $F=x+y+z-e^z$，$F_x=F_y=1$，$F_z=1-e^z$。

所以 $z_x=z_y=\dfrac{1}{e^z-1}$，相减得 $z_x-z_y=0$。

这个例子告诉你：当 $x$ 和 $y$ 在方程里"地位相同"时，两个偏导一定相等。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 $z_x=-F_x/F_z$。负号别丢，$F$ 先移项。
• 🧠 选项是"$z_x\pm z_y=$ 常数"时，答案几乎都是"分子凑成分母"。
• 🔗 变式 1 的结论 $a z_x+b z_y=1$ 是高频考点，值得记住。

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第 4 题　细棒对质点的引力（定积分的物理应用）#

题目　线密度为 1 的细直棒，两端点为 $(-1,0)$ 和 $(1,0)$。质量为 $m$ 的质点位于 $(0,1)$，$G$ 为引力常量。细棒对质点的引力大小为（　）

(A) $\displaystyle\int_0^1\frac{2Gmx}{(x^2+1)^{1/2}}dx$　　(B) $\displaystyle\int_0^1\frac{2Gm}{(x^2+1)^{1/2}}dx$

(C) $\displaystyle\int_0^1\frac{2Gmx}{(x^2+1)^{3/2}}dx$　　(D) $\displaystyle\int_0^1\frac{2Gm}{(x^2+1)^{3/2}}dx$

做完再点开：答案

(D)。顺便可以算出 $F=\sqrt2\,Gm$。

🧭 知识地图#

定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）→ 微元法 → 面积、体积、弧长 → 物理应用（引力、压力、做功）

下游：本卷第 20 题（旋转体体积用的也是微元法）。

🔥 热身（2 分钟）#

热身　计算 $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}$。

热身答案

令 $x=\tan t$，则 $dx=\sec^2t\,dt$，$(1+x^2)^{3/2}=\sec^3t$。

$$\int_0^{\pi/4}\cos t\,dt=\left.\sin t\,\right\rvert_0^{\pi/4}=\frac{\sqrt2}{2}$$

记住这个原函数：$\displaystyle\int\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+C$。引力题几乎都会用到它。

👀 一眼看穿#

• 图形左右对称，所以水平分力相互抵消，只剩竖直方向。
• 竖直分力 = 总力 $\times\cos\theta$。其中 $\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，再乘上 $\frac{1}{x^2+1}$，指数就变成 $\frac32$。
• 竖直分量的分子里没有 $x$。

图：微元受力示意。水平分量左右抵消，只剩竖直分量（Python 绘制）

📚 知识点深度回顾#

① 微元法的三步#

1. 取一小段： 在 $[x,x+dx]$ 上，把这一小段近似看成一个点；
2. 写这一小段的贡献： 这里是一个小引力 $dF$；
3. 加起来： 对 $dF$ 积分。

② 为什么必须先分解再积分#

力是向量，有方向。不同小段对质点的拉力方向不同，所以不能把大小直接相加。

正确做法：先把每个 $dF$ 拆成水平和竖直两个分量，再分别积分。

③ 这道题的每个量#

• 小段质量：$dm=1\cdot dx$；
• 到质点的距离：$r=\sqrt{x^2+1}$；
• 小引力的大小：$\dfrac{Gm\,dx}{r^2}$；
• 竖直分量乘 $\cos\theta=\frac1r$，水平分量乘 $\sin\theta=\frac xr$。

水平分量是 $x$ 的奇函数，在 $[-1,1]$ 上积分为 0。

✍️ 详细步骤#

第 1 步： 写竖直分量：

$$dF_y=\frac{Gm\,dx}{x^2+1}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{Gm\,dx}{(x^2+1)^{3/2}}$$

第 2 步： 积分，利用偶函数把区间折半：

$$F=\int_{-1}^{1}\frac{Gm}{(x^2+1)^{3/2}}dx=\int_0^1\frac{2Gm}{(x^2+1)^{3/2}}dx$$

答案：(D)。 由热身结果，$F=2Gm\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2\,Gm$。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（棒在延长线上）　线密度为 $\rho$、长为 $l$ 的细棒放在 $[0,l]$ 上，质点 $m$ 位于 $(l+a,0)$，其中 $a>0$。求引力。

变式 2（不对称）　细棒放在 $[0,l]$ 上，线密度为 $\rho$，质点 $m$ 位于 $(0,h)$。分别求水平分力和竖直分力。

变式 3（换个物理量：水压力）　半径为 $R$ 的半圆形闸门竖直放在水中，直径在水面上。求闸门受到的水压力（水的密度 $\rho$，重力加速度 $g$）。

变式 1 提示与解答

提示： 所有小段都在同一条直线上，方向相同，可以直接把大小相加。

解： 小段 $[x,x+dx]$ 到质点的距离是 $l+a-x$：

$$F=\int_0^l\frac{Gm\rho}{(l+a-x)^2}dx=Gm\rho\left(\frac1a-\frac{1}{l+a}\right)=\frac{Gm\rho\,l}{a(l+a)}$$

变式 2 提示与解答

提示： 不对称时，水平分量不会抵消。两个都要算。

解：

$$F_y=Gm\rho\int_0^l\frac{h}{(x^2+h^2)^{3/2}}dx=\frac{Gm\rho\,l}{h\sqrt{h^2+l^2}}$$

$$F_x=Gm\rho\int_0^l\frac{x}{(x^2+h^2)^{3/2}}dx=Gm\rho\left(\frac1h-\frac{1}{\sqrt{h^2+l^2}}\right)$$

注意 $h\neq1$ 时，竖直分量的分子是 $h$，不是 1。

变式 3 提示与解答

提示： 微元法照旧。换成取一条水平细条，它的深度处处相同，压强也相同。

解： 深度为 $x$ 处的细条宽 $2\sqrt{R^2-x^2}$，压强是 $\rho g x$：

$$P=\int_0^R\rho g\,x\cdot2\sqrt{R^2-x^2}\,dx=\frac23\rho g R^3$$

引力、压力、做功，都是"取一小块 → 写贡献 → 积分"这三步。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 引力题：$r^2$ 在分母，再乘一个 $\cos$，指数从 1 变成 $\frac32$。
• ⚠️ 分子带 $x$ 的选项（A、C）是水平分量。对称时它等于 0，是陷阱。
• 🧮 $\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+1)^{3/2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C$

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🔗 串联练习：把第 1 题和第 4 题连起来#

题目　把第 4 题的细棒换成 $[-l,l]$，其他条件不变。

1. 求引力 $F(l)$；
2. 当 $l\to0$ 时，$F(l)$ 与什么等价？
3. 当 $l\to+\infty$ 时，$F(l)$ 趋于多少？

提示与解答

1. 用第 4 题的方法和热身里的原函数：

$$F(l)=\int_0^l\frac{2Gm}{(x^2+1)^{3/2}}dx=\frac{2Gm\,l}{\sqrt{l^2+1}}$$

2. $l\to0$ 时，$\sqrt{l^2+1}\to1$，所以 $F(l)\sim2Gm\,l$。

物理意义：棒很短时，它就像一个质量为 $2l$、离质点距离为 1 的质点。这正好用上第 1 题的"等价无穷小"。

3. $l\to+\infty$ 时，$F(l)\to2Gm$。无限长的棒，引力也是有限的。

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📋 本篇速记总表#

题	考点	一句话钥匙	连到
1	等价无穷小定参数	低阶全消，首项对齐	第 12 题
2	解的结构	系数和为 1 是非齐次，为 0 是齐次	第 21 题
3	隐函数偏导	负号别丢，分子凑分母	第 14、19 题
4	引力（微元法）	先分解再积分，指数 $\frac32$	第 20 题

✅ 自测清单#

• 我能默写 7 个常用泰勒展开式，并说出 $\sin$ 和 $\arcsin$ 的区别。
• 我知道什么时候不能用等价替换。
• 我能用"系数和"判断一个组合是什么解。
• 我能推导出 $z_x=-F_x/F_z$，而不只是背下来。
• 我能用微元法写出引力、压力的积分式。

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说明： 真题依据 2026 年全国硕士研究生招生考试数学（二）（2025 年 12 月考试），原题与参考答案见 ^[1]、^[2]。热身题和变式题为本文改编或选自经典题型。所有答案都已用 SymPy 验算。口诀只是记忆方法，不是官方结论。