考研数学二·零基础讲义 专题S06（上）｜中值定理证明题入门：罗尔定理与构造辅助函数

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S06（上）｜中值定理证明题入门：罗尔定理与构造辅助函数

证明题最怕"不知道从哪下手"。这一篇只教一件事：看到结论，倒推出一个辅助函数$F(x)$⁠，让它满足罗尔定理。全篇 8 道例题 + 8 道自测，具体数值全部用 SymPy 验算。预计用时 50–70 分钟。

本讲地图#

• 第一步：认清罗尔定理——条件与结论（三个中值定理见第 07 讲）。
• 第二步：罗尔定理的套路——要证$\exists\xi$使某式为 0，就找$F$使$F'(x)$等于该式（或该式乘一个恒不为零的因子）。
• 第三步：构造辅助函数的"还原表"——把常见结论形式一一对应到$F$⁠。
• 第四步：多次使用罗尔——3 个零点 → $f'$至少 2 个零点 → $f''$至少 1 个。
• 大纲要求：理解并会用罗尔、拉格朗日、柯西中值定理证明简单结论。

前置知识#

• 导数、连续、可导：第 04、05 讲。
• 三个中值定理的基本叙述：第 07 讲。

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一、罗尔定理：它到底在说什么#

大白话：你开车从 A 地出发，最后回到和 A 地同样的海拔。中途路面如果是平滑的，那一定有某一刻路面是水平的（山顶或谷底）。

罗尔定理：若$f$满足

1. 在闭区间$[a,b]$上连续；
2. 在开区间$(a,b)$内可导；
3. $f(a)=f(b)$⁠；

则至少存在一点$\xi\in(a,b)$⁠，使得$f'(\xi)=0$⁠。

逐条拆解：连续保证曲线不断（才有最高点或最低点）；可导保证最高/最低点处有切线；端点等高保证最值不会都在端点（否则函数是常数）。三条缺一不可。

图 1：切线沿曲线从左端滑向右端，斜率由正变负，在山顶处恰好为 0（动画循环播放）

例 1 验证$f(x)=x^2-3x+2$在$[1,2]$上满足罗尔定理，并求$\xi$⁠。

解：$f$是多项式，连续可导；$f(1)=0=f(2)$⁠。$f'(x)=2x-3=0$得$\xi=\tfrac32\in(1,2)$⁠。（SymPy 解$f'=0$得$\tfrac32$⁠。）

例 2 说明$f(x)=x(x-1)(x-2)$的导函数$f'(x)=0$有几个实根、各在什么范围。

解：$f(0)=f(1)=f(2)=0$⁠。对$[0,1]$用罗尔：$\exists\xi_1\in(0,1)$⁠，$f'(\xi_1)=0$⁠；对$[1,2]$用罗尔：$\exists\xi_2\in(1,2)$⁠，$f'(\xi_2)=0$⁠。而$f'$是二次多项式，至多 2 个根，所以恰好 2 个，分别在$(0,1)$与$(1,2)$⁠。（SymPy：根为$1\mp\tfrac{\sqrt3}{3}\approx0.4226,\,1.577$⁠。）

⚠️ 易错点：罗尔的$\xi$一定在开区间$(a,b)$内，不能取端点。

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二、构造辅助函数：核心方法#

思路（背下来）：题目要证$\exists\xi\in(a,b)$使$\Phi(\xi)=0$⁠。

1. 把$\xi$换成$x$⁠，写出$\Phi(x)=0$⁠；
2. 想一想$\Phi(x)$是谁的导数（或乘上某个恒正因子后是谁的导数），把那个原函数记作$F(x)$⁠；
3. 验证$F$在$[a,b]$连续、$(a,b)$可导，并且$F(a)=F(b)$（常常靠题目给的$f(a)=f(b)=0$之类条件）；
4. 对$F$用罗尔，得$F'(\xi)=0$⁠，再把因子约掉，得证。

还原表（复习时只看这张）：

怎么记：看到$f'$和$f$同时出现，想"乘一个因子凑成乘积的导数"；$f$前带系数函数$g$⁠，因子就是$\mathrm e^{\int g}$⁠。（和第 14 讲一阶线性方程的积分因子是一回事。）

例 3 设$f$在$[0,1]$连续、$(0,1)$可导，且$f(0)=f(1)=0$⁠。证明：$\exists\xi\in(0,1)$⁠，使$f'(\xi)+f(\xi)=0$⁠。

证：令$F(x)=\mathrm e^xf(x)$⁠。$F$在$[0,1]$连续、$(0,1)$可导，$F(0)=F(1)=0$⁠。由罗尔，$\exists\xi\in(0,1)$⁠： $$F'(\xi)=\mathrm e^{\xi}\big[f'(\xi)+f(\xi)\big]=0.$$ 因$\mathrm e^\xi>0$⁠，所以$f'(\xi)+f(\xi)=0$⁠。∎

（SymPy 验算：$(\mathrm e^xf)'=\mathrm e^x(f'+f)$⁠；取$f=x(1-x)$⁠，解$f'+f=0$得$x=\tfrac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618\in(0,1)$⁠。）

⚠️ 易错点：要先写出$F'(x)$的表达式，再说"因$\mathrm e^\xi\neq0$"，不能直接宣布"由罗尔得结论"。

例 4 设$f$在$[a,b]$连续、$(a,b)$可导，$f(a)=f(b)=0$⁠。证明$\exists\xi\in(a,b)$⁠，使$f'(\xi)+2\xi f(\xi)=0$⁠。

证：系数函数$g(x)=2x$⁠，$G(x)=x^2$⁠。令$F(x)=\mathrm e^{x^2}f(x)$⁠，则$F(a)=F(b)=0$⁠。罗尔得$F'(\xi)=\mathrm e^{\xi^2}\big[f'(\xi)+2\xi f(\xi)\big]=0$⁠，约去$\mathrm e^{\xi^2}>0$即得。∎（SymPy 验证$(\mathrm e^{x^2}f)'/\mathrm e^{x^2}=f'+2xf$⁠。）

⚠️ 易错点：乘了指数因子后，$F(a)=\mathrm e^{a^2}f(a)$与$F(b)=\mathrm e^{b^2}f(b)$的因子不同，所以只给$f(a)=f(b)\neq0$是不够的，必须是函数值为 0。

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三、更多套路#

例 5 设$f$在$[0,1]$连续、$(0,1)$可导，$f(1)=0$⁠。证明$\exists\xi\in(0,1)$⁠，使$\xi f'(\xi)+f(\xi)=0$⁠。

证：令$F(x)=xf(x)$⁠，则$F(0)=0$⁠，$F(1)=f(1)=0$⁠。罗尔得$F'(\xi)=f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$⁠。∎

（取$f=x^2(1-x)$⁠：$xf'+f=3x^2-4x^3$的零点为$0,\tfrac34$⁠，$\xi=\tfrac34\in(0,1)$⁠。）

例 6 设$f$在$[0,1]$连续、$(0,1)$可导。证明$\exists\xi\in(0,1)$⁠，使$f'(\xi)=2\xi\,[f(1)-f(0)]$⁠。

证：令$F(x)=f(x)-\big[f(1)-f(0)\big]x^2$⁠。$F(0)=f(0)$⁠，$F(1)=f(1)-f(1)+f(0)=f(0)$⁠，相等。罗尔得$F'(\xi)=f'(\xi)-2\xi[f(1)-f(0)]=0$⁠。∎

（取$f=\mathrm e^x$⁠：$F'=\mathrm e^x-2(\mathrm e-1)x$⁠，SymPy 数值求得零点约$0.4618\in(0,1)$⁠。）

例 7 设$0<a<b$⁠，$f$在$[a,b]$连续、$(a,b)$可导，且$\dfrac{f(a)}{a}=\dfrac{f(b)}{b}$⁠。证明$\exists\xi\in(a,b)$⁠，使$\xi f'(\xi)=f(\xi)$⁠。

证：令$F(x)=\dfrac{f(x)}{x}$（⁠$x\geq a>0$⁠，有意义）。$F(a)=F(b)$⁠，罗尔得$F'(\xi)=\dfrac{\xi f'(\xi)-f(\xi)}{\xi^2}=0$⁠，即$\xi f'(\xi)=f(\xi)$⁠。∎

（取$f=x^2(1-x)$⁠，$a=\tfrac14$⁠，$b=\tfrac34$⁠：$f/x=x(1-x)$两端都等于$\tfrac3{16}$⁠；解$xf'-f=0$得$\tfrac12\in(\tfrac14,\tfrac34)$⁠。）

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四、多次使用罗尔#

核心：若$f$在$[a,b]$上有$n+1$个互异零点（且足够光滑），则$f'$在$(a,b)$内至少有$n$个零点，$f''$至少$n-1$个，……，$f^{(n)}$至少 1 个。

例 8 设$f$二阶可导，$f(0)=f(1)=f(2)=0$⁠。证明$\exists\eta\in(0,2)$⁠，使$f''(\eta)=0$⁠。

证：对$[0,1]$⁠、$[1,2]$各用罗尔，得$\xi_1\in(0,1)$⁠、$\xi_2\in(1,2)$⁠，$f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=0$⁠。再对$f'$在$[\xi_1,\xi_2]$上用罗尔（⁠$f'$可导，故连续），得$\eta\in(\xi_1,\xi_2)\subset(0,2)$⁠，$f''(\eta)=0$⁠。∎

（取$f=x(x-1)(x-2)$⁠，$f''=6x-6$⁠，$\eta=1$⁠。）

⚠️ 易错点：第二次罗尔需要$f'$在$[\xi_1,\xi_2]$上连续、内部可导，这要求$f$ 二阶可导。

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速记卡#

• 罗尔三条件：闭连续、开可导、端点等高；结论$\xi\in(a,b)$开区间。
• 构造$F$⁠：看结论 → 想"谁的导数" → 查还原表 → 验端点等高 → 罗尔。
• 含$f'$与$f$两项：乘指数因子$\mathrm e^{\int g}$⁠；含$xf'$⁠：想$xf$⁠、$x^nf$⁠、$f/x$⁠。
• 乘了因子后，端点等高要靠$f$的函数值为 0（或比值相等）。
• 零点个数：每求一次导，至少少一个零点。

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自测练习#

1. 求$f(x)=x^3-3x$在$[-\sqrt3,\sqrt3]$上罗尔定理中的$\xi$⁠。

答案与提示

$f(\pm\sqrt3)=0$⁠；$f'=3x^2-3=0$⁠，$\xi=\pm1$⁠，均在区间内。

2. 取$f=\sin x$在$[0,\pi]$⁠，求$\xi$使$f'(\xi)+f(\xi)=0$⁠，并说明辅助函数。

答案与提示

辅助函数$\mathrm e^x\sin x$（两端为 0）；$\cos\xi+\sin\xi=0$⁠，$\xi=\tfrac{3\pi}4$⁠。

3. $f$在$[0,2]$连续、$(0,2)$可导，$f(2)=0$⁠。证明$\exists\xi$⁠，使$\xi f'(\xi)+2f(\xi)=0$⁠；取$f=x^2(2-x)$求$\xi$⁠。

答案与提示

$F=x^2f$⁠，$F(0)=F(2)=0$⁠。取$f=x^2(2-x)$⁠：$xf'+2f=8x^2-5x^3$⁠，$\xi=\tfrac85$⁠。

4. $f$在$[0,1]$连续、$(0,1)$可导，$f(0)=0$⁠，$f(1)=1$⁠。证明$\exists\xi\in(0,1)$⁠，$f'(\xi)=1$⁠；取$f=x^2$求$\xi$⁠。

答案与提示

$F=f(x)-x$⁠，$F(0)=F(1)=0$⁠。取$f=x^2$⁠：$2\xi=1$⁠，$\xi=\tfrac12$⁠。

5. $f(x)=x(x-1)^2$⁠，说明$f''$在$(\tfrac13,1)$内有零点，并求出。

答案与提示

$f(0)=f(1)=0\Rightarrow f'(\tfrac13)=0$⁠；又$f'(1)=0$⁠，对$f'$用罗尔；$f''=6x-4$⁠，零点$\tfrac23$⁠。

6. $f(x)=x(x-1)(x-2)$⁠，$f''$的零点是多少？

答案与提示

$f''=6x-6$⁠，零点$x=1$⁠。

7. 为什么不能对"$f'(\xi)+f(\xi)=0$"直接用罗尔定理于$f$⁠？

答案与提示

罗尔给的是$f'(\xi)=0$⁠，而要证的式子多了一项$f(\xi)$⁠，必须找一个导数含这两项的辅助函数，即$\mathrm e^xf(x)$⁠。

8. $f(x)=|x|$在$[-1,1]$上$f(-1)=f(1)$⁠，却没有$\xi$使$f'(\xi)=0$⁠。哪一条不满足？

答案与提示

$x=0$处不可导，不满足"开区间内可导"。

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下一篇预告#

专题 S06（下）讲拉格朗日与柯西中值定理：怎样用它们估计差值、求含$\xi$的极限，以及"两个中值点$\xi,\eta$"类题目怎么拆。

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