考研数学二·零基础讲义 专题S05（下）｜导数定义的各种变形题专项（反推与判别篇）

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S05（下）｜导数定义的各种变形题专项（反推与判别篇）

上篇是"给你导数、算极限"，这篇反过来："给你极限，反推函数值和导数"，再加上函数方程求导、$|f(x)|$与$f(x)|x|$的可导性判别。全篇 12 道例题 + 8 道自测，全部用 SymPy 验算。预计用时 50–70 分钟。

本讲地图#

• 第一步：由极限反推$f(a)$与$f'(a)$——分母趋于 0，分子必须趋于 0。
• 第二步：函数方程$f(x+y)=\cdots$求导——先求$f(0)$⁠，再用定义算$f'(x)$⁠。
• 第三步：带绝对值的可导性判别——$|f(x)|$⁠、$f(x)|x|$⁠、$f(x)(1+|\sin x|)$⁠。
• 第四步：奇偶性与切线——偶函数$f'(0)=0$⁠，奇函数的导数是偶函数；两曲线相切的条件。
• 大纲要求：理解导数概念，会判断函数在一点的可导性。

前置知识#

• 导数定义与配凑：专题 S05（上）。
• 左右导数、分段函数可导：专题 S04（下）。
• 奇偶函数：第 01 讲。

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一、由极限反推函数值与导数#

核心逻辑（背下来）：若$\lim\dfrac{g(x)}{x}$存在（有限），则分母$\to0$⁠，所以分子$g(x)\to0$⁠；再配合连续性得$g(0)=0$⁠。

例 1 设$f(x)$在$x=0$连续，且$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=3$⁠，求$f(0)$与$f'(0)$⁠。

解：$f(x)=x\cdot\dfrac{f(x)}{x}\to0\cdot3=0$⁠，由连续得$f(0)=0$⁠。于是$f'(0)=\lim\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim\dfrac{f(x)}{x}=3$⁠。 （取$f=3x+x^2$验算：极限$3$⁠，$f(0)=0$⁠，$f'(0)=3$⁠。）

注意：必须有"$f$在$0$连续"。否则如$f(x)=3x$当$x\ne0$⁠、$f(0)=5$时，极限也是$3$⁠，但$f(0)=5$⁠、不可导。

例 2 设$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$（⁠$f$在$0$连续），求$f(0)$⁠、$f'(0)$⁠。

解：$f(x)=x^2\cdot\dfrac{f(x)}{x^2}\to0$⁠，故$f(0)=0$⁠；$\dfrac{f(x)}{x}=x\cdot\dfrac{f(x)}{x^2}\to0$⁠，故$f'(0)=0$⁠。

例 3 设$f(0)=0$⁠，$f'(0)=2$⁠，求$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(2x)-f(-x)}{\sin x}$⁠。

解：$f(2x)-f(-x)\sim(2-(-1))f'(0)x=3f'(0)x$⁠，$\sin x\sim x$⁠，所以原式$=3f'(0)=6$⁠。（取$f=2x+x^2$⁠，SymPy 得$6$⁠。）

例 4（数列/无穷型） 求$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\Big[f\big(a+\tfrac1x\big)-f(a)\Big]$⁠。

解：令$h=\frac1x\to0^+$⁠，得$f'(a)$⁠。（取$f=\mathrm e^{2x}+x^3+\sin3x+1,\ a=\frac12$验算，SymPy 一致。）

例 5（切线） 曲线$y=f(x)$与$y=\sin x$在原点相切，求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}nf\big(\tfrac2n\big)$⁠。

解：两曲线在原点相切$\Rightarrow$过同一点且斜率相等：$f(0)=0$⁠，$f'(0)=\cos0=1$⁠。令$h=\frac2n$⁠，$nf(\frac2n)=2\cdot\dfrac{f(h)-f(0)}{h}\to2f'(0)=2$⁠。（取$f=x+x^3$验算得$2$⁠。）

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二、函数方程与导数#

例 6 设$f(x+y)=f(x)f(y)$对一切$x,y$成立，$f(0)\ne0$⁠，且$f'(0)=a$⁠，证明$f'(x)=af(x)$⁠。

证：令$y=0$⁠：$f(x)=f(x)f(0)$⁠，因$f$不恒为零，$f(0)=1$⁠。于是 $$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f(x)\lim_{h\to0}\frac{f(h)-1}{h}=f(x)\lim\frac{f(h)-f(0)}{h}=af(x).$$ （⁠$f(x)=\mathrm e^{3x}$满足条件，$a=3$⁠，验算$f'=3f$⁠。）

例 7 设$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$⁠，且$f'(0)=1$⁠，求$f(x)$⁠。

解：令$x=y=0$⁠：$f(0)=0$⁠。 $$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\frac{f(h)+2xh}{h}=\lim\frac{f(h)-f(0)}{h}+2x=1+2x.$$ 积分得$f(x)=x+x^2+C$⁠，$f(0)=0\Rightarrow C=0$⁠，所以$f(x)=x+x^2$⁠。（SymPy 验证$f(x+y)-f(x)-f(y)=2xy$⁠，$f'(0)=1$⁠。）

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三、带绝对值的可导性判别#

例 8 设$f(x)$在$x=0$可导，判断$F(x)=f(x)\,|x|$在$0$的可导性。

解：$F(0)=0$⁠。右导数$\lim_{x\to0^+}\dfrac{f(x)x}{x}=f(0)$⁠；左导数$\lim_{x\to0^-}\dfrac{f(x)(-x)}{x}=-f(0)$⁠。可导$\iff f(0)=-f(0)\iff f(0)=0$⁠，此时$F'(0)=0$⁠。 （⁠$f=1+x$⁠：右$1$⁠、左$-1$⁠，不可导；$f=x$⁠：$x|x|$可导，导数$0$⁠。）

例 9 设$f(x)$在$x=0$可导，$F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$⁠，证明$F$在$0$可导$\iff f(0)=0$⁠。

解：$F(0)=f(0)$⁠。右：$\dfrac{F(x)-F(0)}{x}=\dfrac{f(x)-f(0)}{x}+f(x)\dfrac{|\sin x|}{x}\to f'(0)+f(0)$⁠；左：$\to f'(0)-f(0)$⁠。相等$\iff f(0)=0$⁠。 （⁠$f=x+\cos x$⁠：右$2$⁠、左$0$⁠，不可导；$f=\sin x+x^2$⁠：左右都$1$⁠，可导。）

例 10 设$f(x)$可导，讨论$|f(x)|$在$x_0$的可导性。

解：

• 若$f(x_0)\ne0$⁠：$f$在$x_0$附近不变号，$|f|=\pm f$⁠，可导。
• 若$f(x_0)=0$⁠：$|f|$可导$\iff f'(x_0)=0$⁠。因为$\dfrac{|f(x)|}{x-x_0}$的右、左极限为$|f'(x_0)|$与$-|f'(x_0)|$⁠。 （⁠$|x|$⁠：$f'(0)=1\ne0$⁠，不可导；$|x^2|=x^2$⁠，$f'(0)=0$⁠，可导；$|x^3|$在$0$的左右极限都是$0$⁠，可导。）

例 11（应用） 判断$|x^2-x|$在$x=0$和$x=1$的可导性。

解：$x^2-x=x(x-1)$⁠，在$0$处值为零、导数$-1\ne0$⁠；在$1$处值为零、导数$1\ne0$⁠。由例 10，两处都不可导。（SymPy：$0$处右$1$⁠、左$-1$⁠；$1$处右$1$⁠、左$-1$⁠。）又$|x^2\sin x|$在$0$处：$f'(0)=0$⁠，可导。

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四（补）、导数存在与导函数极限存在，是两回事#

例 12′ 设$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac1x,&x\ne0\\0,&x=0\end{cases}$⁠，求$f'(0)$⁠，并问$\lim_{x\to0}f'(x)$是否存在。

解：$f'(0)=\lim\dfrac{x^2\sin(1/x)}{x}=\lim x\sin\dfrac1x=0$（无穷小乘有界）。而$x\ne0$时$f'(x)=2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x$⁠，当$x\to0$时$2x\sin\frac1x\to0$⁠，但$\cos\frac1x$振荡，极限不存在。所以 $f'(0)$存在，$\lim_{x\to0}f'(x)$却不存在：导函数在$0$不连续。

例 12″ 设$f$在$0$连续，在$0$的去心邻域可导，且$\lim_{x\to0}f'(x)=A$⁠，求$f'(0)$⁠。

解：用洛必达（⁠$\dfrac00$型，$f(0)$为$f$在$0$的值）：$f'(0)=\lim\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim\dfrac{f'(x)}{1}=A$⁠。所以此时$f'(0)=A$⁠。这是"分界点导数"的第二种算法，只在$\lim f'(x)$ 存在时可用；例 12′ 就不能用。（取$f=\ln(1+x)+x^2$⁠：$f'(x)=\frac1{1+x}+2x\to1=f'(0)$⁠。）

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五、奇偶性#

例 12 设$f$可导。证明：(1) $f$为偶函数$\Rightarrow f'(0)=0$⁠，且$f'$为奇函数；(2) $f$为奇函数$\Rightarrow f'$为偶函数。

证：(1) $f(-x)=f(x)$⁠，两边求导：$-f'(-x)=f'(x)$⁠，即$f'$为奇函数；令$x=0$得$f'(0)=-f'(0)$⁠，$f'(0)=0$⁠。(2) $f(-x)=-f(x)$求导得$-f'(-x)=-f'(x)$⁠，$f'(-x)=f'(x)$⁠。（验证：$(\sin x+x^3)'=\cos x+3x^2$是偶函数，$\cos x$的导数在$0$处为$0$⁠。）

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速记卡#

• $\lim\dfrac{f(x)}{x}=A$（⁠$f$连续）$\Rightarrow f(0)=0$⁠，$f'(0)=A$⁠。
• 函数方程：先令特殊值求$f(0)$⁠，再用$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$拆开。
• $f(x)|x|$在$0$可导$\iff f(0)=0$⁠；$f(x)(1+|\sin x|)$同理。
• $|f|$在$f(x_0)=0$处可导$\iff f'(x_0)=0$⁠。
• 偶函数$f'(0)=0$⁠；奇函数的导数是偶函数。

自测 8 题#

1. $f$在$0$连续，$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=-2$⁠，求$f(0),f'(0)$⁠。

答案与提示

$f(0)=0$⁠，$f'(0)=-2$⁠。

2. $f(x+y)=f(x)f(y)$⁠，$f(0)\neq0$⁠，$f'(0)=2$⁠，求$f'(x)$与$f(x)$的关系。

答案与提示

$f'(x)=2f(x)$⁠。

3. $f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy$⁠，$f'(0)=2$⁠，求$f'(x)$⁠。

答案与提示

$f'(x)=2+3x$（即$f=2x+\tfrac32x^2$⁠，SymPy 验证）。

4. $f(x)=\cos x$⁠，$F(x)=f(x)|x|$在$0$可导吗？

答案与提示

$f(0)=1\neq0$⁠，不可导。

5. $|x^2-x|$在$x=1$处的右导数、左导数各是多少？

答案与提示

右$1$⁠，左$-1$⁠，不可导。

6. $|x^2\sin x|$在$x=0$可导吗？

答案与提示

可导，导数为$0$（因$x^2\sin x$在$0$的导数为$0$⁠）。

7. 求$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\Big[f\big(1+\tfrac2x\big)-f(1)\Big]$⁠，其中$f=\mathrm e^x$⁠。

答案与提示

$2f'(1)=2\mathrm e$⁠。

8. $f(0)=0$⁠，$f'(0)=-1$⁠，求$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(3x)}{\sin x}$⁠。

答案与提示

$3f'(0)=-3$⁠。

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专题 S06 进入中值定理证明题入门：怎样根据结论"倒推"构造辅助函数，罗尔定理、拉格朗日定理的典型用法。