活字 Huozi

第 124 篇

考研数学二·零基础讲义 专题S03（上）｜数列极限：夹逼准则专项

约 13 分钟 3855 字 数学考研数学二零基础讲义高等数学

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S03（上）｜数列极限：夹逼准则专项

学完这篇，你能把"n 项和、连乘、n 次方根"这几类数列极限，用夹逼准则一步一步夹出结果；还能判断什么时候夹不住、该换成定积分定义。全篇 19 道例题 + 8 道自测，所有答案都用 SymPy 验算过。预计用时 60–80 分钟。

本讲地图

  • 第一步：夹逼准则本身——"三明治"的直观与严格表述，以及使用前必须检查的三件事。
  • 第二步：n 项和型——分母各不相同的和式，用"最小项 × n ≤ 和 ≤ 最大项 × n"夹出来。
  • 第三步：连乘型——n!nn\dfrac{n!}{n^n}⁠、(2n−1)!!(2n)!!\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}这类，把每个因子放大成同一个数。
  • 第四步：n 次方根型——an+bn+cnn\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}⁠，谁最大就等于谁。
  • 第五步：夹不住怎么办——两端不相等时，改用定积分定义。
  • 大纲要求：理解极限的夹逼准则并会用它求极限；理解定积分的概念（和式极限 → 定积分）。数列极限是考研数二的常客，小题和大题里都出现。

前置知识

  • 数列极限的ε\varepsilon–NN直观含义、极限四则运算：第 02 讲。
  • 无穷小与"有界×无穷小=无穷小"：第 03 讲。
  • 定积分的定义与计算：第 10 讲（只需会算∫01\int_0^1的几个简单积分）。

一、夹逼准则：先上"三明治"

大白话：一个数列xnx_n在数轴上乱蹦，但你能证明它永远被两个"向导"数列夹在中间——上面一个znz_n⁠，下面一个yny_n——而且两个向导最后都走到同一个地方AA⁠。那xnx_n夹在中间，被迫也只能走到AA⁠。就像三明治里的火腿，上下两片面包合拢了，火腿没有地方逃。

准则（数列形式）：如果从某一项起（⁠n>N0n>N_0⁠）总有

yn≤xn≤zn,y_n\le x_n\le z_n,

并且lim⁡n→∞yn=lim⁡n→∞zn=A\lim\limits_{n\to\infty}y_n=\lim\limits_{n\to\infty}z_n=A⁠，那么lim⁡n→∞xn=A\lim\limits_{n\to\infty}x_n=A⁠。

逐行拆解：

  • "从某一项起"：前面有限项不管用，极限只看"最后"的行为。
  • "两端的极限都存在且相等"：这是准则的灵魂，缺一不可。两端极限不相等，或者有一端不存在，准则没法用。
  • 结论里不需要事先知道xnx_n极限存在——夹逼准则同时证明了"存在"和"等于AA"。这一点和极限四则运算不同。

使用前自检三件事：

  1. 不等号方向对不对？上面的向导确实≥xn\ge x_n⁠，下面的确实≤xn\le x_n⁠。
  2. 两个向导能不能算出极限？放缩要"放"到足够简单，才能算得出来。
  3. 两端极限是不是同一个数？放得太狠（放得太大或缩得太小）会让两端不相等。
夹逼示意：数列 x_n 被上下两列 n/√(n²+n) 与 n/√(n²+1) 夹住，三者都趋于 1 x y O 10 20 30 0.7 0.85 1 绿：下界 n/√(n²+n) 红：上界 n/√(n²+1) 蓝点：夹在中间的和 x_n 扫描线右移：上下两列把 x_n 越夹越紧，全都挤向 1

图 1：和式xn=∑k=1n1n2+kx_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt{n^2+k}}被两个简单数列夹住，扫描线右移时三者一起挤向 1（动画循环播放）。这正是例 3 的图像。

函数极限也有同样的夹逼准则（把n→∞n\to\infty换成x→x0x\to x_0或x→∞x\to\infty⁠），后面例 14 会用到。

二、最简单的情形：有界乘无穷小

例 1：求lim⁡n→∞sin⁡nn\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin n}{n}⁠。

解：∣sin⁡n∣≤1|\sin n|\le1⁠，所以 −1n≤sin⁡nn≤1n.-\frac1n\le\frac{\sin n}{n}\le\frac1n. 两端都→0\to0⁠，由夹逼准则，极限为00⁠。

例 2：求lim⁡n→∞n2cos⁡nn3+1\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2\cos n}{n^3+1}⁠。

解：∣cos⁡n∣≤1|\cos n|\le1⁠，故0≤∣n2cos⁡nn3+1∣≤n2n3+1→00\le\left|\dfrac{n^2\cos n}{n^3+1}\right|\le\dfrac{n^2}{n^3+1}\to0⁠。夹逼得极限为00⁠。

小技巧：想证xn→0x_n\to0⁠，常去夹∣xn∣|x_n|⁠：0≤∣xn∣≤zn→00\le|x_n|\le z_n\to0⁠，就有xn→0x_n\to0（绝对值夹住了，本身也被夹住）。

⚠️ 易错：这类题绝不能写lim⁡sin⁡n=\lim\sin n=某数——sin⁡n\sin n当n→∞n\to\infty极限不存在。只能"有界 × 无穷小"。

三、第一类核心题型：n 项和

大白话：和式里有nn个加数，每个都在变小，加起来的结果却不一定是 0。对付它的办法是"取两端"——找出和中最小的一项和最大的一项，把nn项都换成它们：

n×(最小项) ≤ 和 ≤ n×(最大项).n\times(\text{最小项})\ \le\ \text{和}\ \le\ n\times(\text{最大项}).

什么时候能成功？ 当最小项和最大项"几乎一样"（分母里kk相对于n2n^2是低阶的）时，两端会收敛到同一个数。

例 3：求lim⁡n→∞(1n2+1+1n2+2+⋯+1n2+n)\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac1{\sqrt{n^2+1}}+\dfrac1{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\dfrac1{\sqrt{n^2+n}}\right)⁠。

解：共nn项，分母从n2+1\sqrt{n^2+1}到n2+n\sqrt{n^2+n}递增，所以最大项是第 1 项1n2+1\dfrac1{\sqrt{n^2+1}}⁠，最小项是最后一项1n2+n\dfrac1{\sqrt{n^2+n}}⁠： nn2+n≤xn≤nn2+1.\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le x_n\le\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}. 两端：nn2+n=11+1/n→1\dfrac n{\sqrt{n^2+n}}=\dfrac1{\sqrt{1+1/n}}\to1⁠，nn2+1→1\dfrac n{\sqrt{n^2+1}}\to1⁠。极限为11⁠。

例 4：求lim⁡n→∞∑k=1nkn2+k\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n^2+k}⁠。

解：这次分子也在变，不能取"同一项乘nn"。但分母n2+kn^2+k介于n2+1n^2+1与n2+nn^2+n之间，所以只放缩分母，分子kk保留： ∑kn2+n≤xn≤∑kn2+1,∑k=1nk=n(n+1)2.\frac{\sum k}{n^2+n}\le x_n\le\frac{\sum k}{n^2+1},\qquad \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2. 下界：n(n+1)/2n2+n=12\dfrac{n(n+1)/2}{n^2+n}=\dfrac12⁠；上界：n(n+1)/2n2+1→12\dfrac{n(n+1)/2}{n^2+1}\to\dfrac12⁠。极限为12\dfrac12⁠。

例 5：求lim⁡n→∞(nn2+1+nn2+2+⋯+nn2+n)\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac n{n^2+1}+\dfrac n{n^2+2}+\cdots+\dfrac n{n^2+n}\right)⁠。

解：每项分子都是nn⁠，分母最大n2+nn^2+n⁠、最小n2+1n^2+1⁠： n⋅nn2+n≤xn≤n⋅nn2+1.\frac{n\cdot n}{n^2+n}\le x_n\le\frac{n\cdot n}{n^2+1}. 两端都→1\to1⁠，极限为11⁠。

例 6：求lim⁡n→∞(1n2+n+1+2n2+n+2+⋯+nn2+n+n)\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac1{n^2+n+1}+\dfrac2{n^2+n+2}+\cdots+\dfrac n{n^2+n+n}\right)⁠。

解：通项kn2+n+k\dfrac k{n^2+n+k}⁠，分母介于n2+n+1n^2+n+1与n2+2nn^2+2n之间： n(n+1)/2n2+2n≤xn≤n(n+1)/2n2+n+1.\frac{n(n+1)/2}{n^2+2n}\le x_n\le\frac{n(n+1)/2}{n^2+n+1}. 两端→12\to\dfrac12⁠，极限为12\dfrac12⁠。

这一类的流程：①写出通项和项数；②判断哪项最大/最小（看分母或分子谁在动）；③放缩；④分别算两端极限；⑤相等就结束。

⚠️ 易错：

  1. 放缩后项数一定要数对：kk从11到nn是nn项，不是n−1n-1项。
  2. 分子分母都随kk变时，不要同时取最大——只放缩更"次要"的那个，保留主要变化的部分（如例 4）。
  3. 若两端算出来不相等，说明这类和式其实是定积分（见第六节），夹逼用错了地方。

四、连乘型：把每个因子放大成同一个数

例 7：求lim⁡n→∞n!nn\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{n^n}⁠。

解：n!=1⋅2⋅3⋯nn!=1\cdot2\cdot3\cdots n⁠，nn=n⋅n⋯nn^n=n\cdot n\cdots n（⁠nn个）。把它们对齐相除： n!nn=1n⋅2n⋅3n⋯nn.\frac{n!}{n^n}=\frac1n\cdot\frac2n\cdot\frac3n\cdots\frac nn. 除了第一个因子1n\dfrac1n以外，每个因子都≤1\le1⁠，所以 0<n!nn≤1n⋅1⋅1⋯1=1n→0.0<\frac{n!}{n^n}\le\frac1n\cdot1\cdot1\cdots1=\frac1n\to0. 极限为00⁠。

例 8：求lim⁡n→∞1⋅3⋅5⋯(2n−1)2⋅4⋅6⋯(2n)\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}⁠。

解：记它为xn=12⋅34⋅56⋯2n−12nx_n=\dfrac12\cdot\dfrac34\cdot\dfrac56\cdots\dfrac{2n-1}{2n}⁠。关键观察：对每个kk⁠， 2k−12k<2k2k+1(交叉相乘：(2k−1)(2k+1)=4k2−1<4k2).\frac{2k-1}{2k}<\frac{2k}{2k+1}\quad(\text{交叉相乘：}(2k-1)(2k+1)=4k^2-1<4k^2). 所以 xn2=xn⋅xn<(12⋅34⋯2n−12n)(23⋅45⋯2n2n+1)=12n+1.x_n^2=x_n\cdot x_n<\left(\frac12\cdot\frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}\right)\left(\frac23\cdot\frac45\cdots\frac{2n}{2n+1}\right)=\frac1{2n+1}. （右边两串相乘，分子分母错位约掉，只剩12n+1\dfrac1{2n+1}⁠。）因此 0<xn<12n+1→0.0<x_n<\frac1{\sqrt{2n+1}}\to0. 极限为00⁠。

连乘型思路：把xnx_n配一个"孪生"的、每个因子稍大的乘积，两者相乘能大面积约分；或者像例 7 一样，让绝大多数因子≤1\le1⁠。

五、n 次方根型：谁最大，答案就是谁

大白话：an+bn+cnn\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}⁠，里面三项的"增长速度"不同，最大的那一项（比如cnc^n⁠）会一手遮天。开nn次方后，就剩下cc⁠。

通用夹法：设a,b,c>0a,b,c>0⁠，M=max⁡{a,b,c}M=\max\{a,b,c\}⁠，那么

Mn≤an+bn+cn≤3Mn ⟹ M≤an+bn+cnn≤M3n.M^n\le a^n+b^n+c^n\le3M^n\ \Longrightarrow\ M\le\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}\le M\sqrt[n]3.

而3n→1\sqrt[n]3\to1（见例 13），所以极限是MM⁠。项数是mm个时，把33换成mm即可（⁠mm固定）。

例 9：求lim⁡n→∞1+2n+3nn\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+2^n+3^n}⁠。

解：最大是33⁠。3n≤1+2n+3n≤3⋅3n3^n\le1+2^n+3^n\le3\cdot3^n⁠，开nn次方得3≤xn≤33n→33\le x_n\le3\sqrt[n]3\to3⁠。极限为33⁠。

例 10：求lim⁡n→∞2n+3n+5nn\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n+3^n+5^n}⁠。

解：最大是55⁠，同理得极限55⁠。

例 11：求lim⁡n→∞12n+13nn\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac1{2^n}+\dfrac1{3^n}}⁠。

解：写成(12)n+(13)nn\sqrt[n]{\left(\frac12\right)^n+\left(\frac13\right)^n}⁠，最大的底是12\dfrac12⁠。夹逼：12≤xn≤122n→12\dfrac12\le x_n\le\dfrac12\sqrt[n]2\to\dfrac12⁠。极限为12\dfrac12⁠。

例 12：求lim⁡n→∞n3+2nn\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^3+2^n}⁠。

解：这题底数不是常数，n3n^3随nn变。但指数函数增长比幂函数快：当n≥10n\ge10时n3<2nn^3<2^n（⁠n=9n=9时729>512729>512⁠，n=10n=10时1000<10241000<1024⁠）。于是n≥10n\ge10时 2n<n3+2n<2⋅2n ⟹ 2<xn<22n→2.2^n<n^3+2^n<2\cdot2^n\ \Longrightarrow\ 2<x_n<2\sqrt[n]2\to2. 极限为22⁠。

例 13：求lim⁡n→∞nn\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]n⁠。

解：用均值不等式（⁠nn个正数的算术平均≥\ge几何平均）。把nn写成n⋅n⋅1⋯1⏟n−2 个\sqrt n\cdot\sqrt n\cdot\underbrace{1\cdots1}_{n-2\text{ 个}}⁠，则 1≤nn=n⋅n⋅1⋯1n≤n+n+(n−2)n=1−2n+2n→1.1\le\sqrt[n]n=\sqrt[n]{\sqrt n\cdot\sqrt n\cdot1\cdots1}\le\frac{\sqrt n+\sqrt n+(n-2)}{n}=1-\frac2n+\frac2{\sqrt n}\to1. 极限为11⁠。由此也有an→1\sqrt[n]a\to1（⁠a>0a>0为常数）：当n>an>a且a≥1a\ge1时1≤an≤nn1\le\sqrt[n]a\le\sqrt[n]n⁠。

⚠️ 易错：ann\sqrt[n]{a_n}型要先确认底数是不是常数。常数底数看"谁最大"；底数含nn时要比较增长速度（指数≫\gg幂≫\gg对数）。

六、函数极限里的夹逼：取整函数

例 14：求lim⁡x→0+x[1x]\lim\limits_{x\to0^+}x\left[\dfrac1x\right]（⁠[ ⋅ ][\,\cdot\,]表示取整，即不超过它的最大整数）。

解：取整函数满足t−1<[t]≤tt-1<[t]\le t⁠。令t=1xt=\dfrac1x⁠，并乘上x>0x>0⁠： 1−x<x[1x]≤1.1-x<x\left[\frac1x\right]\le1. x→0+x\to0^+时左端→1\to1⁠，右端恒为11⁠，故极限为11⁠。

同理lim⁡x→0+x2[1x2]=1\lim\limits_{x\to0^+}x^2\left[\dfrac1{x^2}\right]=1⁠。如果是x→+∞x\to+\infty的[x]x\dfrac{[x]}x⁠，同样1−1x<[x]x≤11-\dfrac1x<\dfrac{[x]}x\le1⁠，极限为11⁠。

七、夹不住的时候：改用定积分定义

先看一个"夹不住"的例子。

例 15：求lim⁡n→∞∑k=1nnn2+k2\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\dfrac n{n^2+k^2}⁠。

尝试夹逼：分母n2+k2n^2+k^2最小是n2+1n^2+1⁠，最大是n2+n2=2n2n^2+n^2=2n^2⁠： n⋅n2n2=12≤xn≤n⋅nn2+1→1.\frac{n\cdot n}{2n^2}=\frac12\le x_n\le\frac{n\cdot n}{n^2+1}\to1. 两端是12\dfrac12和11⁠，不相等，夹逼失败。原因：k2k^2和n2n^2同阶，每一项的大小差别太大，不能粗暴地都换成同一个数。

解决办法：定积分定义。 把1n\dfrac1n提出来，剩下的写成kn\dfrac kn的函数： nn2+k2=1n⋅11+(k/n)2.\frac n{n^2+k^2}=\frac1n\cdot\frac1{1+(k/n)^2}. 于是xn=∑k=1n1nf ⁣(kn)x_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac1n f\!\left(\dfrac kn\right)⁠，其中f(x)=11+x2f(x)=\dfrac1{1+x^2}⁠。

公式： lim⁡n→∞1n∑k=1nf ⁣(kn)=∫01f(x) dx.\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^nf\!\left(\frac kn\right)=\int_0^1f(x)\,dx. 为什么：把[0,1][0,1]等分成nn份，每份宽1n\dfrac1n⁠，kn\dfrac kn是第kk份的右端点，f(kn)⋅1nf(\frac kn)\cdot\frac1n是以它为高的小矩形面积，n→∞n\to\infty时矩形面积之和就是曲线下的面积。

所以例 15 的极限为∫01dx1+x2=arctan⁡1=π4\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\arctan1=\dfrac\pi4⁠。

识别口诀：通项里kk和nn同阶（出现k/nk/n⁠、k2/n2k^2/n^2这类组合），夹逼不行，用定积分；通项里kk比nn的阶低（如n2+kn^2+k⁠），夹逼。

例 16：求lim⁡n→∞(1n+1+1n+2+⋯+12n)\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac1{n+1}+\dfrac1{n+2}+\cdots+\dfrac1{2n}\right)⁠。

解：通项1n+k=1n⋅11+k/n\dfrac1{n+k}=\dfrac1n\cdot\dfrac1{1+k/n}⁠，kk从11到nn⁠： lim⁡xn=∫01dx1+x=ln⁡2.\lim x_n=\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln2.

例 17：求lim⁡n→∞1n∑k=1nsin⁡kπn\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n\sin\dfrac{k\pi}n⁠。

解：已经是标准形式，f(x)=sin⁡πxf(x)=\sin\pi x⁠： ∫01sin⁡πx dx=[−cos⁡πxπ]01=2π.\int_0^1\sin\pi x\,dx=\left[-\frac{\cos\pi x}\pi\right]_0^1=\frac2\pi.

例 18：求lim⁡n→∞n!nn\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[n]{n!}}n⁠。

解：取对数： ln⁡n!nn=1n∑k=1nln⁡k−ln⁡n=1n∑k=1nln⁡kn→∫01ln⁡x dx=−1.\ln\frac{\sqrt[n]{n!}}n=\frac1n\sum_{k=1}^n\ln k-\ln n=\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\frac kn\to\int_0^1\ln x\,dx=-1. （⁠ln⁡x\ln x在00处无定义，这里是反常积分，收敛到−1-1⁠，结论照用。）所以极限为e−1=1ee^{-1}=\dfrac1e⁠。

例 19：求lim⁡n→∞∑k=1nkn2ek/n\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\dfrac k{n^2}e^{k/n}⁠。

解：kn2ek/n=1n⋅kn ek/n\dfrac k{n^2}e^{k/n}=\dfrac1n\cdot\dfrac kn\,e^{k/n}⁠，f(x)=xexf(x)=xe^x⁠： ∫01xex dx=[(x−1)ex]01=0−(−1)=1.\int_0^1xe^x\,dx=\big[(x-1)e^x\big]_0^1=0-(-1)=1.

⚠️ 易错：

  1. 求和范围k=1∼nk=1\sim n时，kn\dfrac kn在(0,1](0,1]⁠；若求和从k=0k=0到n−1n-1⁠，积分仍是∫01\int_0^1⁠，因为多一项少一项不影响极限。若总共2n2n项、通项含kn\dfrac k{n}⁠，积分上限就变成22⁠，不要机械地写∫01\int_0^1⁠。
  2. 分子分母凑1n\dfrac1n时别丢：每项里必须恰好提出一个1n\dfrac1n（对应dxdx⁠）。

公式/结论速记卡

题型 做法 结论
有界 × 无穷小 ∣xn∣≤zn→0|x_n|\le z_n\to0 极限00
nn项和，kk低阶 n⋅n\cdot最小项≤\le和≤n⋅\le n\cdot最大项 两端同极限
nn项和，kk与nn同阶 提1n\frac1n凑f(kn)f(\frac kn) ∫01f(x)dx\int_0^1f(x)dx
连乘 配对约分或因子≤1\le1 常夹到1n\frac1n⁠、12n+1\frac1{\sqrt{2n+1}}
an+bn+⋯n\sqrt[n]{a^n+b^n+\cdots} Mn≤⋅≤mMnM^n\le\cdot\le mM^n max⁡\max
取整 t−1<[t]≤tt-1<[t]\le t 常得11
常用 nn→1\sqrt[n]n\to1⁠，an→1\sqrt[n]a\to1

自测练习

1. 求lim⁡n→∞cos⁡(n2)n\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\cos(n^2)}{\sqrt n}⁠。

答案与提示

∣cos⁡n2n∣≤1n→0\left|\dfrac{\cos n^2}{\sqrt n}\right|\le\dfrac1{\sqrt n}\to0⁠，答案00⁠。

2. 求lim⁡n→∞∑k=1n1n2+k2\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\dfrac1{\sqrt{n^2+k^2}}⁠。

答案与提示

k2k^2与n2n^2同阶，夹逼两端不等，用定积分：1n⋅11+(k/n)2\dfrac1n\cdot\dfrac1{\sqrt{1+(k/n)^2}}⁠，得∫01dx1+x2=ln⁡(1+2)\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln(1+\sqrt2)⁠。

3. 求lim⁡n→∞∑k=1nk2n3+k\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k^2}{n^3+k}⁠。

答案与提示

分母介于n3+1n^3+1与n3+nn^3+n⁠，∑k2=n(n+1)(2n+1)6\sum k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6⁠。下界n(n+1)(2n+1)/6n3+n→13\dfrac{n(n+1)(2n+1)/6}{n^3+n}\to\dfrac13⁠，上界→13\to\dfrac13⁠，答案13\dfrac13⁠。

4. 求lim⁡n→∞3n+4n+5nn\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^n+4^n+5^n}⁠。

答案与提示

最大底数55⁠：5≤xn≤53n5\le x_n\le5\sqrt[n]3⁠，答案55⁠。

5. 求lim⁡n→∞2⋅3n+3⋅5nn\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2\cdot3^n+3\cdot5^n}⁠。

答案与提示

3⋅5n≤⋅≤5⋅5n3\cdot5^n\le\cdot\le5\cdot5^n⁠，开方得53n≤xn≤55n5\sqrt[n]3\le x_n\le5\sqrt[n]5⁠，两端→5\to5⁠，答案55⁠。

6. 求lim⁡x→0+x2[1x2]\lim\limits_{x\to0^+}x^2\left[\dfrac1{x^2}\right]⁠。

答案与提示

1−x2<x2[1x2]≤11-x^2<x^2\left[\dfrac1{x^2}\right]\le1⁠，答案11⁠。

7. 求lim⁡n→∞1n∑k=1n(kn)2\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n\left(\dfrac kn\right)^2⁠。

答案与提示

∫01x2dx=13\displaystyle\int_0^1x^2dx=\dfrac13⁠。

8.（略提高）求lim⁡n→∞(n+1)(n+2)⋯(2n)nn\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(2n)}}n⁠。

答案与提示

取对数：1n∑k=1nln⁡(1+kn)→∫01ln⁡(1+x)dx=2ln⁡2−1\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n\ln\left(1+\dfrac kn\right)\to\displaystyle\int_0^1\ln(1+x)dx=2\ln2-1⁠，所以极限为e2ln⁡2−1=4ee^{2\ln2-1}=\dfrac4e⁠。

下一篇预告

专题 S03（下）讲单调有界准则：怎样证明一个数列"只升不降、有天花板"，递推数列xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_n)怎样一步步求极限，以及不单调的递推数列怎么办。

👉 点击进入下一篇：专题S03（下）｜数列极限：单调有界准则与递推数列

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