考研数学二·零基础讲义 专题S04（下）｜分段函数的连续与可导专项

考研数学二·零基础讲义 · 专题 S04（下）｜分段函数的连续与可导专项

学完这篇，你能判断分段函数在分界点是否连续、是否可导，会用"连续 + 左右导数相等"两步法求参数，还能分清"可导"与"导函数连续"这对最容易混的概念。全篇 16 道例题 + 8 道自测，所有结果用 SymPy 验算过。预计用时 70–90 分钟。

本讲地图#

• 第一步：连续、可导的关系——可导必连续，反之不成立。
• 第二步：分界点上的两步法——先看连续，再看左右导数。
• 第三步：含参数的分段函数——连续给一个方程，可导再给一个方程。
• 第四步：绝对值函数的不可导点——$|x|\varphi(x)$型的判别法。
• 第五步：$x^\alpha\sin\frac1x$型——$\alpha$取不同值，性质一级级升高。
• 第六步：高阶导数是否存在——$x^2|x|$型。
• 大纲要求：理解导数的概念与可导性、连续性的关系；理解左右导数。这是选择题、填空题和大题第一问的高频考点。

前置知识#

• 导数定义$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$⁠：第 05 讲。
• 间断点分类与左右极限：专题 S04（上）。
• 泰勒展开与等价无穷小：第 03、06 讲。

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一、连续与可导：先把关系理清#

大白话：连续是"没断"，可导是"没断，而且没有尖角"。绝对值函数$|x|$在原点没断，但是有个尖角，所以连续却不可导。

三条结论：

1. 可导 ⟹ 连续；
2. 连续 不一定 可导（例：$|x|$⁠）；
3. 不连续 一定 不可导。

分界点的两步法（分段函数$f(x)=\begin{cases}f_1(x),&x<x_0\\ f_2(x),&x\ge x_0\end{cases}$⁠）：

• 第一步，连续：$f_1(x_0^-)=f_2(x_0)=f(x_0)$⁠。
• 第二步，可导：左导数$f'_-(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^-}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$与右导数$f'_+(x_0)$存在且相等。

一个常用的捷径：如果$f_1$⁠、$f_2$在$x_0$处各自可导（用各自的公式求导后代入$x_0$⁠），并且函数连续，那么左右导数就直接等于$f_1'(x_0)$⁠、$f_2'(x_0)$⁠，不用写极限。但必须先确认连续，否则这个捷径不成立。

不能用的情形：分界点处函数值是"单独给定"的（如$f(0)=0$而$x\ne0$时是个复杂式子），这时必须回到定义。

图 1：$f(x)=x^2\sin\frac1x$被$y=\pm x^2$夹住（动画循环播放）。原点处小球沿曲线越走越近，摆动幅度被抛物线压住，所以切线是水平线，$f'(0)=0$⁠。而导函数里有$-\cos\frac1x$这一项，在原点附近仍来回摆动。

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二、最基本的分界点判断#

例 1：设$f(x)=\begin{cases}\mathrm e^x,&x<0\\ 1+x,&x\ge0\end{cases}$⁠，讨论$x=0$处的连续与可导。

解：连续：$f(0^-)=\mathrm e^0=1$⁠，$f(0^+)=1$⁠，$f(0)=1$⁠，连续。 可导：$f'_-(0)=(\mathrm e^x)'|_{0}=1$⁠，$f'_+(0)=(1+x)'=1$⁠，相等，可导且$f'(0)=1$⁠。

例 2：$f(x)=|x|$在$x=0$的连续与可导。

解：连续（⁠$|x|\to0=f(0)$⁠）。$f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x}{x}=1$⁠，$f'_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{-x}{x}=-1$⁠，不等，不可导。

例 3：$f(x)=x|x|$在$x=0$的可导性。

解：$\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{x|x|}{x}=|x|\to0$⁠，所以可导，$f'(0)=0$⁠。注意：和$|x|$不同，多乘一个$x$就把尖角磨平了。

例 4：设$f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin x}{x},&x\ne0\\ a,&x=0\end{cases}$⁠，求$a$使$f$连续，并求$f'(0)$⁠。

解：$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$⁠，故$a=1$⁠。再用定义： $$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-x^3/6}{x^2}=0.$$ $f'(0)=0$⁠。（SymPy 验算：$\dfrac{\sin x}{x}=1-\dfrac{x^2}6+O(x^4)$⁠，极限$0$⁠。）

例 5：设$f(x)=\begin{cases}\dfrac{\mathrm e^x-1-x}{x},&x\ne0\\ a,&x=0\end{cases}$⁠，求$a$与$f'(0)$⁠。

解：$\dfrac{\mathrm e^x-1-x}{x}\sim\dfrac{x^2/2}{x}=\dfrac x2\to0$⁠，故$a=0$⁠。$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\mathrm e^x-1-x}{x^2}=\dfrac12$⁠。（SymPy：$\tfrac12$⁠。）

例 6：设$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1-\cos x}{x},&x\ne0\\ a,&x=0\end{cases}$⁠，求$a$与$f'(0)$⁠。

解：$\dfrac{1-\cos x}{x}\sim\dfrac x2\to0$⁠，$a=0$⁠。$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12$⁠。（SymPy：$\tfrac12$⁠。）

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三、含参数的分段函数：连续一个方程，可导再一个方程#

套路：

• 要求"连续"：在分界点令左极限 = 右极限 = 函数值，得一个方程；
• 要求"可导"：再令左导数 = 右导数，得另一个方程。
• 两个参数 → 一般"可导"就够了（可导已包含连续）。

例 7：设$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\le1\\ ax+b,&x>1\end{cases}$在$x=1$处可导，求$a,b$⁠。

解：连续：$1=a+b$⁠。可导：$f'_-(1)=2x|_1=2$⁠，$f'_+(1)=a$⁠，故$a=2$⁠，$b=-1$⁠。（SymPy 解方程组$a+b=1,\ a=2$⁠：$a=2,b=-1$⁠。）

例 8：设$f(x)=\begin{cases}\cos x,&x\le0\\ a+bx,&x>0\end{cases}$⁠，在$x=0$处导数连续（即$f\in C^1$⁠），求$a,b$⁠。

解：连续：$a=\cos0=1$⁠。左导数$-\sin0=0$⁠，右导数$b$⁠，故$b=0$⁠。（SymPy：$\cos x$在$0$的导数为$0$⁠。）

例 9：设$f(x)=\begin{cases}\sin x,&x<0\\ ax^2+bx,&x\ge0\end{cases}$在$x=0$处二阶可导，求$a,b$⁠。

解：连续：$0=0$⁠，自动成立。一阶：$f'_-(0)=\cos0=1$⁠，$f'_+(0)=b$⁠，故$b=1$⁠。二阶：左边$f''_-(0)=-\sin0=0$⁠，右边$f''_+(0)=2a$⁠，故$a=0$⁠。（SymPy：$\sin x$的二阶导在$0$为$0$⁠，右边为$2a$⁠。）

易错：二阶可导要求一阶导函数在$x_0$处连续、且左右二阶导相等，所以三个条件（函数值、一阶导、二阶导）依次对齐。

例 10（极限式定义，只要连续）：设$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}$连续，求$a,b$⁠。

解：分段得$|x|<1$⁠：$f=ax^2+bx$⁠；$|x|>1$⁠：$f=\dfrac1x$⁠；$x=1$⁠：$f=\dfrac{1+a+b}{2}$⁠；$x=-1$⁠：$f=\dfrac{-1+a-b}{2}$⁠。

$x=1$⁠：左极限$a+b$⁠，右极限$1$⁠，要连续需$a+b=1$⁠，同时$f(1)=\dfrac{1+a+b}2=1$⁠，一致。 $x=-1$⁠：左极限$\dfrac1{-1}=-1$⁠，右极限$a-b$⁠，需$a-b=-1$⁠，且$f(-1)=\dfrac{-1+a-b}2=-1$⁠，一致。 解得$a=0,\ b=1$⁠。（SymPy：解$a+b=1,\ a-b=-1$得$a=0,b=1$⁠。）

此时$f(x)=x$（⁠$|x|\le1$⁠），$\dfrac1x$（⁠$|x|>1$⁠）。在$x=1$⁠：左导数$1$⁠，右导数$-1$⁠，不可导——所以这道题只能要求连续，不能要求可导。

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四、绝对值函数：$|x-a|\,\varphi(x)$的不可导点#

结论：设$\varphi(x)$在$x=a$连续，则$f(x)=|x-a|\varphi(x)$在$x=a$ 可导 $\iff\varphi(a)=0$⁠。

为什么：$\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\dfrac{|x-a|}{x-a}\varphi(x)$⁠，右极限$\varphi(a)$⁠，左极限$-\varphi(a)$⁠。两者相等当且仅当$\varphi(a)=0$⁠。

大白话：$|x-a|$在$a$处有个尖角，乘上一个在$a$处等于零的函数，尖角就被"压平"了；如果$\varphi(a)\ne0$⁠，尖角还在。

例 11：求$f(x)=(x^2-x-2)\,|x^3-x|$的不可导点。

解：$|x^3-x|=|x||x-1||x+1|$⁠，可能不可导点为$x=0,1,-1$⁠。$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$⁠。

• $x=0$⁠：另一个因子$(x^2-x-2)|x^2-1|\to-2\cdot1=-2\ne0$⁠，不可导；
• $x=1$⁠：因子$(x^2-x-2)|x||x+1|\to(-2)\cdot2\ne0$⁠，不可导；
• $x=-1$⁠：因子$x^2-x-2$在$x=-1$等于$0$⁠，可导。

所以不可导点为$x=0,1$⁠。（SymPy 验算：在$x=0$⁠，左导数$2$⁠、右导数$-2$⁠；在$x=1$⁠，左$4$⁠、右$-4$⁠；在$x=-1$⁠，左右都是$0$⁠。）

例 12：求$f(x)=|x|\sin x$在$x=0$的可导性。

解：$\varphi=\sin x$⁠，$\varphi(0)=0$⁠，可导。直接验：$\dfrac{|x|\sin x}{x}\to0$（SymPy 也给$0$⁠）。

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五、$x^\alpha\sin\dfrac1x$型：$\alpha$越大，性质越好#

设$f(x)=\begin{cases}x^\alpha\sin\dfrac1x,&x>0\\ 0,&x\le0\end{cases}$⁠，在$x=0$处：

• 连续$\iff\alpha>0$（因为$|x^\alpha\sin\frac1x|\le x^\alpha\to0$⁠）；
• 可导$\iff\alpha>1$（⁠$\dfrac{f(x)}{x}=x^{\alpha-1}\sin\dfrac1x$要$\to0$⁠）；
• 导函数连续$\iff\alpha>2$（⁠$f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}\sin\dfrac1x-x^{\alpha-2}\cos\dfrac1x$要$\to0$⁠）。

例 13：$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac1x,&x\ne0\\0,&x=0\end{cases}$⁠，求$f'(0)$⁠，并判断$f'(x)$在$0$是否连续。

解：$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}x\sin\dfrac1x=0$⁠。当$x\ne0$时$f'(x)=2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x$⁠，第一项$\to0$⁠，第二项来回摆动，极限不存在。故 $f$在$0$处可导，但$f'$在$0$处不连续（⁠$0$是$f'$的振荡间断点）。（SymPy：$f'(0)=0$⁠；$2x\sin\frac1x-\cos\frac1x$的极限区间为$[-1,1]$⁠。）

例 14：对$f(x)=x^\alpha\sin\dfrac1x$（⁠$x>0$⁠），$f(x)=0$（⁠$x\le0$⁠），验证$\alpha=\tfrac12,1,\tfrac32$时在$0$的可导情况。

解：$\dfrac{f(x)}{x}=x^{\alpha-1}\sin\dfrac1x$⁠：$\alpha=\tfrac12$时$x^{-1/2}\sin\dfrac1x$无界振荡，不可导；$\alpha=1$时$\sin\dfrac1x$振荡，不可导；$\alpha=\tfrac32$时$\to0$⁠，可导，$f'(0)=0$⁠。（SymPy：$\alpha=\tfrac32$极限$0$⁠。）

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六、高阶导数：$x^2|x|$的"天花板"#

例 15：$f(x)=x^2|x|$⁠，问$f''(0)$⁠、$f'''(0)$是否存在？

解：$x>0$时$f=x^3$⁠，$x<0$时$f=-x^3$⁠。

• $f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2|x|}{x}=0$⁠；$f'(x)=3x|x|$（⁠$x\ne0$⁠）。
• $f''(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x|x|}{x}=0$⁠；$f''(x)=6|x|$⁠。
• $f'''(0)$⁠：$\dfrac{6|x|-0}{x}$⁠，右极限$6$⁠，左极限$-6$⁠，不存在。

结论：$f$二阶可导，但三阶不可导。（SymPy：$x>0$时$(x^3)'''=6$⁠，$(-x^3)'''=-6$⁠。）

规律：$x^n|x|$恰好$n$阶可导，$n+1$阶不可导。

例 16：设$f(x)=\begin{cases}\mathrm e^{-1/x^2},&x\ne0\\ 0,&x=0\end{cases}$⁠，求$f'(0)$⁠。

解：$\dfrac{\mathrm e^{-1/x^2}}{x}$⁠，令$t=\dfrac1{x}$换元，指数衰减压过幂，极限为$0$⁠。$f'(0)=0$⁠。（SymPy：$0$⁠；而且$f'(x)/x$的极限也是$0$⁠，即$f''(0)=0$⁠。）

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速记卡#

• 可导 ⟹ 连续，反之不成立；不连续一定不可导。
• 分界点两步：先连续，再左右导数相等。
• 各段可导的捷径：连续之后，直接用两段的导函数代入分界点。
• $|x-a|\varphi(x)$：在$a$处可导$\iff\varphi(a)=0$（⁠$\varphi$连续）。
• $x^\alpha\sin\frac1x$：$\alpha>0$连续，$\alpha>1$可导，$\alpha>2$导函数连续。
• $x^n|x|$：$n$阶可导，$n+1$阶不可导。

易错清单#

1. 没确认连续就直接用"两段导数相等"得结论。
2. 把"可导"与"导函数连续"混为一谈（例 13）。
3. 求参数时只写一个方程：可导 = 连续 + 导数相等，通常有两个方程。
4. $|x-a|\varphi(x)$判可导时忘记$\varphi$在$a$要连续。

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自测 8 题#

1. 设$f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\le1\\ ax+b,&x>1\end{cases}$在$x=1$可导，求$a,b$⁠。

答案与提示

连续：$2=a+b$⁠；导数：$2=a$⁠。$a=2,b=0$⁠。

2. 求$f(x)=|x|(x-1)$的不可导点。

答案与提示

$x=0$⁠：$\varphi=x-1$⁠，$\varphi(0)=-1\ne0$⁠，不可导。$x=1$不是绝对值零点，可导。

3. 设$f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin x}{x},&x\ne0\\ a,&x=0\end{cases}$⁠，$f'(0)=?$

答案与提示

$a=1$⁠，$f'(0)=0$（例 4）。

4. 判断$f(x)=x^3\sin\dfrac1x$（⁠$x\ne0$⁠），$f(0)=0$在$0$处导函数是否连续。

答案与提示

$\alpha=3>2$⁠，导函数连续，$f'(0)=0$⁠。

5. 设$f(x)=\begin{cases}\mathrm e^{2x},&x<0\\ a+bx,&x\ge0\end{cases}$在$x=0$可导，求$a,b$⁠。

答案与提示

连续：$a=1$⁠；导数：左$2$⁠，右$b$⁠，故$b=2$⁠。

6. $f(x)=x|x|^2$在$x=0$处可导几阶？

答案与提示

$x|x|^2=x^3$处处光滑，任意阶可导。（注意：$|x|^2=x^2$⁠，不是$|x|$的奇次幂。）

7. 设$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1-\cos x}{x},&x\ne0\\ a,&x=0\end{cases}$⁠，求使$f$连续的$a$及$f'(0)$⁠。

答案与提示

$a=0$⁠，$f'(0)=\dfrac12$⁠。

8.（略提高）设$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x\ne1\\ a,&x=1\end{cases}$⁠，求$a$使$f$连续并求$f'(1)$⁠。

答案与提示

$x\ne1$时$f=x+1$⁠，$a=2$⁠，$f'(1)=1$⁠。

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下一篇预告#

专题 S05 讲导数定义的各种变形题：$\lim\dfrac{f(x_0+2h)-f(x_0-h)}{h}$这类"拆成导数定义"的题怎么配凑，以及抽象函数里的"已知极限反推导数"。