2026考研数学二真题精讲⑧：解答题21–22（可降阶微分方程·A=GH 求 A¹⁰）

2026 考研数学二 · 以练串学 ⑧｜解答题 21–22

这是整卷最后一篇，两道 12 分大题：第 21 题"缺 $y$ 型"可降阶微分方程，第 22 题用满秩分解 $A=GH$ 求 $A^{10}$。每道题都会带出一条"知识链"：先用热身题把底子补上，再拆真题，最后用 3 道变式题把同一个思路练熟。篇末附一张整卷 22 题的知识串联表。

建议用法

1. 先只看题目，自己做 15 分钟。答案是折叠的，做完再点开。
2. 卡住了，先做「热身」，再回来看真题。
3. 真题弄懂后，把「变式训练」从易到难做一遍。每道都有提示和完整解答。

所有答案都用代码（SymPy）重新验算过。

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第 21 题　可降阶的二阶微分方程（12 分）#

题目　求微分方程 $x^2y''-2xy'-(y')^2=0\ (x>2)$ 满足条件 $\left.y\right\rvert_{x=3}=\frac12$，$\left.y'\right\rvert_{x=3}=-9$ 的解。

做完再点开：答案

$$y=-\frac12x^2-2x-4\ln(x-2)+11$$

🧭 知识地图#

一阶方程四种"型"（可分离、齐次型、一阶线性、伯努利）→ 可降阶二阶方程：缺 $y$ 令 $y'=p(x)$（核心） → 降成一阶后再认型 → 两次积分、两个初值

同一套工具还会用在：本卷第 2 题（微分方程解的结构）、第 13 题（曲线的 $y''$ 和曲率，见篇末串联练习）；变式 3 的"把 $x$ 看成 $p$ 的函数"，就是第 6 题反函数导数的思路。

🔥 热身（5 分钟）#

热身 1　求 $xy''+y'=0\ (x>0)$ 的通解。

热身 2　求伯努利方程 $y'+\frac{y}{x}=y^2$ 的通解。

热身答案

热身 1： $y=C_1\ln x+C_2$。

方程里没有 $y$，令 $y'=p$，$y''=p'$，得 $xp'+p=0$。

左边正好是 $(xp)'$，所以 $xp=C_1$，即 $p=\frac{C_1}{x}$。再积一次就行。

热身 2： $y=\frac{1}{x\,(C-\ln x)}$。

令 $z=\frac1y$，则 $z'=-\frac{y'}{y^2}$。原方程两边除以 $-y^2$：

$$z'-\frac1x z=-1$$

乘积分因子 $\frac1x$：$\left(\frac zx\right)'=-\frac1x$，所以 $\frac zx=C-\ln x$。

这两题正好对应真题的两件工具：缺 $y$ 降阶和伯努利换元 $z=1/p$。

👀 一眼看穿#

• 方程里只有 $y'$、$y''$，没有 $y$ 本身。所以是"缺 $y$ 型"：令 $y'=p(x)$，降成一阶。
• 降阶后是 $x^2p'-2xp-p^2=0$。看到 $p^2$，就想伯努利；看到每一项都能写成 $\frac px$ 的函数，也可以走齐次型。两条路都通，伯努利更干净。
• 两个初值分工明确：$y'(3)=-9$ 定 $p$ 的常数，$y(3)=\frac12$ 定 $y$ 的常数。用一个，定一个，边做边代。

图：特解曲线与初值点（Python 绘制）

📚 知识点深度回顾#

① 可降阶的三类，先看"缺谁"#

类型	长相	换元	降成
直接积分型	$y''=f(x)$	不用换	积两次
缺 $y$	$y''=f(x,y')$	$y'=p(x)$，$y''=p'$	$p$ 关于 $x$ 的一阶方程
缺 $x$	$y''=f(y,y')$	$y'=p(y)$，$y''=p\frac{dp}{dy}$	$p$ 关于 $y$ 的一阶方程

为什么缺 $x$ 时 $y''=p\frac{dp}{dy}$？

因为这时把 $p$ 看成 $y$ 的函数，而 $y$ 又是 $x$ 的函数。用链式法则：

$$y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\,\frac{dp}{dy}$$

也就是说，缺谁，就让 $p$ 跟着剩下的那个变量走。

② 降阶以后：一阶方程怎么认型#

型	标准形	换元或做法
可分离	$p'=f(x)g(p)$	分开两边各自积分
齐次型	$p'=\varphi\left(\frac px\right)$	$u=\frac px$，$p'=u+xu'$
一阶线性	$p'+P(x)p=Q(x)$	积分因子 $e^{\int P\,dx}$
伯努利	$p'+P(x)p=Q(x)p^n$	$z=p^{1-n}$，化成线性

认型的顺序：先看能不能分离；不能，再看是不是线性；有 $p^n$ 就是伯努利；全是 $\frac px$ 就是齐次型。

③ 一阶线性方程：积分因子为什么管用#

方程 $z'+P(x)z=Q(x)$。两边同乘 $\mu=e^{\int P\,dx}$。

因为 $\mu'=P\mu$，左边 $\mu z'+P\mu z$ 正好是乘积的导数 $(\mu z)'$。

所以 $(\mu z)'=\mu Q$，积一次就出来了。不用背通解公式，记住"乘完左边变成乘积的导数"就行。

④ 伯努利为什么换 $z=p^{1-n}$#

方程 $p'+Pp=Qp^n$，两边除以 $p^n$：

$$p^{-n}p'+P\,p^{1-n}=Q$$

注意 $\left(p^{1-n}\right)'=(1-n)p^{-n}p'$。所以令 $z=p^{1-n}$，第一项就是 $\frac{z'}{1-n}$，方程变成关于 $z$ 的线性方程。

$n=2$ 时最常见：$z=\frac1p$，$z'=-\frac{p'}{p^2}$。

易错点： 除以 $p^n$ 时，悄悄丢掉了 $p=0$ 这个解。本题 $p=0$ 意味着 $y$ 是常数，不满足 $y'(3)=-9$，所以可以放心丢。

⑤ 两个常数，为什么要边做边代#

如果先不定 $C_1$，就得积 $\int\frac{x^2}{C_1-x}dx$，带着字母做多项式除法，很容易错。

先用 $y'(3)=-9$ 把 $C_1$ 定成 2，被积函数就成了具体的 $\frac{x^2}{2-x}$，好算多了。

还有一个小细节：题目给 $x>2$，所以最后 $\ln\lvert x-2\rvert$ 可以直接写成 $\ln(x-2)$。

✍️ 详细步骤#

第 1 步：降阶。 方程缺 $y$，令 $y'=p$，$y''=p'$：

$$x^2p'-2xp-p^2=0\quad\Longrightarrow\quad p'-\frac2xp=\frac{1}{x^2}p^2$$

为什么这样写：整理成伯努利标准形，$n=2$，一眼看出该换什么。

第 2 步（方法一：伯努利，推荐）。 令 $z=\frac1p$，则 $z'=-\frac{p'}{p^2}$。方程两边除以 $-p^2$：

$$z'+\frac2xz=-\frac1{x^2}$$

这是一阶线性方程。积分因子 $e^{\int\frac2xdx}=x^2$，乘上去左边变成 $(x^2z)'$：

$$(x^2z)'=-1\ \Rightarrow\ x^2z=-x+C_1\ \Rightarrow\ p=\frac{x^2}{C_1-x}$$

第 3 步：马上定 $C_1$。 代入 $p(3)=-9$：$\frac{9}{C_1-3}=-9$，所以 $C_1=2$。

$$y'=p=\frac{x^2}{2-x}$$

第 2 步（方法二：齐次型，与参考答案一致）。 两边除以 $x^2$：$p'=\frac{2p}{x}+\left(\frac px\right)^2$。

令 $u=\frac px$，则 $p'=u+xu'$，代入得 $xu'=u+u^2$，分离变量：

$$\frac{du}{u(u+1)}=\frac{dx}{x}$$

积分得 $\ln\left\lvert\frac{u}{u+1}\right\rvert=\ln\lvert x\rvert+C$，即 $\frac{u}{u+1}=c_1x$。

$x=3$ 时 $u=\frac{-9}{3}=-3$，$\frac{-3}{-2}=\frac32=3c_1$，所以 $c_1=\frac12$。

回代 $\frac{p}{p+x}=\frac x2$，得 $2p=xp+x^2$，即 $p=\frac{x^2}{2-x}$。两种方法结果一样。

第 4 步：再积一次。 先做多项式除法，把假分式拆开：

$$\frac{x^2}{2-x}=-x-2+\frac{4}{2-x}$$

$$y=\int\left(-x-2+\frac{4}{2-x}\right)dx=-\frac{x^2}{2}-2x-4\ln(x-2)+C_2$$

（$x>2$，所以 $\int\frac{4}{2-x}dx=-4\ln\lvert x-2\rvert=-4\ln(x-2)$。）

第 5 步：定 $C_2$。 $y(3)=-\frac92-6-4\ln1+C_2=\frac12$，所以 $C_2=11$。

$$y=-\frac12x^2-2x-4\ln(x-2)+11$$

得分点： 写出代换 $y'=p$ → 解出 $p$ 的通解 → 用 $y'(3)$ 定 $C_1$ → 积分得 $y$ → 用 $y(3)$ 定 $C_2$。每一环都要写出来。

✅ 代码验算：代回原方程恒为 0，且 $y(3)=\frac12$，$y'(3)=-9$。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（直接模仿：缺 $y$ + 线性）　求 $xy''-y'=x^2$ 满足 $y(1)=1$，$y'(1)=2$ 的解。

变式 2（先判断类型：缺 $x$）　判断 $yy''+(y')^2=0$ 属于哪一类可降阶方程，并求满足 $y(0)=1$，$y'(0)=\frac12$ 的解。

变式 3（经典难题：反过来看）　求 $y''\left[x+(y')^2\right]=y'$ 满足 $y(1)=1$，$y'(1)=1$ 的解。

变式 1 提示与解答

提示： 缺 $y$，令 $y'=p$。降阶后是一阶线性方程。

解： 代入得 $xp'-p=x^2$，即

$$p'-\frac1xp=x$$

积分因子是 $\frac1x$，左边变成 $\left(\frac px\right)'$：

$$\left(\frac px\right)'=1\ \Rightarrow\ \frac px=x+C_1\ \Rightarrow\ p=x^2+C_1x$$

用 $p(1)=2$：$1+C_1=2$，所以 $C_1=1$。

再积一次：$y=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C_2$。用 $y(1)=1$：$\frac13+\frac12+C_2=1$，$C_2=\frac16$。

$$y=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+\frac16$$

变式 2 提示与解答

提示： 方程里没有 $x$，令 $y'=p(y)$，$y''=p\frac{dp}{dy}$。

解： 这是缺 $x$ 型。代入得

$$yp\frac{dp}{dy}+p^2=0$$

$p\neq0$（因为 $y'(0)=\frac12$），两边除以 $p$，分离变量：$\frac{dp}{p}=-\frac{dy}{y}$，所以 $p=\frac{C_1}{y}$。

$x=0$ 时 $y=1$，$p=\frac12$，所以 $C_1=\frac12$。于是 $yy'=\frac12$。

$$\left(y^2\right)'=1\ \Rightarrow\ y^2=x+C_2$$

用 $y(0)=1$ 得 $C_2=1$。又 $y(0)>0$，取正根：

$$y=\sqrt{x+1}$$

巧解： 左边 $yy''+(y')^2$ 正好是 $(yy')'$。所以 $yy'=$ 常数，一步到位。看到"像乘积求导"的组合，先试试凑导数。

变式 3 提示与解答

提示： 缺 $y$，令 $y'=p$。但得到的方程关于 $p$ 不好解。换个角度：把 $x$ 看成 $p$ 的函数。

解： 令 $y'=p$，方程变成 $p'(x+p^2)=p$，即

$$\frac{dp}{dx}=\frac{p}{x+p^2}$$

关于 $p$ 它不是标准型。但把它倒过来（反函数求导：$\frac{dx}{dp}=1\Big/\frac{dp}{dx}$）：

$$\frac{dx}{dp}=\frac{x+p^2}{p}=\frac1px+p$$

这是 $x$ 关于 $p$ 的一阶线性方程：$\frac{dx}{dp}-\frac1px=p$。

积分因子 $\frac1p$：$\left(\frac xp\right)'=1$，所以 $x=p^2+C_1p$。

$x=1$ 时 $p=1$：$1=1+C_1$，$C_1=0$。所以 $x=p^2$。初值 $p=1>0$，取 $p=\sqrt x$。

$$y=\int\sqrt x\,dx=\frac23x^{3/2}+C_2$$

用 $y(1)=1$ 得 $C_2=\frac13$：

$$y=\frac23x^{3/2}+\frac13$$

这道题的关键一步，就是第 6 题用过的"反函数导数是倒数"。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 缺 $y$ 令 $y'=p(x)$，缺 $x$ 令 $y'=p(y)$。 先看缺谁，再动手。
• 🧠 见 $p^2$ 想伯努利：$z=1/p$，一换就是线性方程。关于 $p$ 解不动时，试试把 $x$ 当成 $p$ 的函数。
• ⚠️ 初值边做边代。 别把两个常数留到最后；$x>2$ 提醒你 $\ln$ 里的绝对值可以去掉。
• 🔗 和第 2 题连起来看：线性方程讲"解的结构"，本题讲"怎么把高阶降成一阶"。

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第 22 题　极大无关组 + $A=GH$ 求 $A^{10}$（12 分）#

题目　已知向量组 $\alpha_1=(1,0,-1,-1)^T$，$\alpha_2=(1,-1,0,-2)^T$，$\alpha_3=(0,-1,1,-1)^T$，$\alpha_4=(0,1,-1,1)^T$，记 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$，$G=(\alpha_1,\alpha_2)$。

(1) 证明：$\alpha_1,\alpha_2$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的极大线性无关组；

(2) 求矩阵 $H$ 使得 $A=GH$，并求 $A^{10}$。

做完再点开：答案

$$H=\begin{pmatrix}1&0&-1&1\\0&1&1&-1\end{pmatrix},\qquad A^{10}=\begin{pmatrix}1&-8&-9&9\\0&-1&-1&1\\-1&9&10&-10\\-1&7&8&-8\end{pmatrix}$$

🧭 知识地图#

初等行变换 → 行最简形 → 秩与极大无关组 → 满秩分解 $A=GH$，$(GH)^n=G(HG)^{n-1}H$（核心） → 秩 1 矩阵的幂、特征值、对角化

同一套工具还会用在：本卷第 9 题（矩阵方程 $AB=C$ 有解，本质也是"列能否被表示"）、第 10 题（$N^2=O$ 的幂零矩阵，本题算 $(HG)^9$ 正要用它）、第 16 题（秩）。

🔥 热身（5 分钟）#

热身 1　$\alpha_1=(1,0,1)^T$，$\alpha_2=(0,1,1)^T$，$\alpha_3=(1,1,2)^T$。求向量组的秩，并把 $\alpha_3$ 用 $\alpha_1,\alpha_2$ 表示。

热身 2　$\alpha=(1,2,3)^T$，$\beta=(1,1,1)^T$，$A=\alpha\beta^T$。求 $A^5$。

热身答案

热身 1： 秩为 2，$\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$。

把三个向量排成列，行变换：

$$\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$$

第 3 列是 $(1,1,0)^T$，意思就是"第 3 列 = 1 倍第 1 列 + 1 倍第 2 列"。

热身 2： $A^5=6^4A=1296A$。

$A^5=\alpha(\beta^T\alpha)(\beta^T\alpha)(\beta^T\alpha)(\beta^T\alpha)\beta^T$。中间的 $\beta^T\alpha=1+2+3=6$ 是一个数，可以提出来。

这两题正好对应真题的两件工具：行最简形读系数和换个结合顺序算幂。

👀 一眼看穿#

• (1) 行变换化成行最简形。主元在第 1、2 列，秩是 2，就证完了。行最简形的第 3、4 列还直接给出了 $\alpha_3,\alpha_4$ 的表示系数。
• (2) $H$ 就是行最简形的非零行。然后换结合顺序：$A^{10}=(GH)(GH)\cdots(GH)=G(HG)^9H$。$HG$ 只有 $2\times2$，算 9 次方很轻松。

图：满秩分解把 4×4 的幂变成 2×2 的幂（Python 绘制）

📚 知识点深度回顾#

① 行变换为什么不改变列之间的关系#

对 $A$ 做行变换，相当于左乘一个可逆矩阵 $P$，得到 $R=PA$。

$Ax=0$ 和 $Rx=0$ 是同解的（两边乘 $P$ 或 $P^{-1}$ 就互相推出）。

而 $Ax=0$ 的解 $x=(k_1,\dots,k_4)^T$，就是"列向量的线性关系" $k_1\alpha_1+\cdots+k_4\alpha_4=0$。

所以：$A$ 的列之间有什么关系，$R$ 的列之间就有什么关系。 这就是为什么能从行最简形里直接读系数。

⚠️ 只能做行变换。做了列变换，列之间的关系就乱了。

② 极大无关组怎么判定#

两个条件同时满足：

1. 这几个向量线性无关；
2. 个数等于整个向量组的秩（等价说法：其余每个向量都能被它们表示）。

行最简形里，主元列对应的原向量就是一组极大无关组。秩、极大无关组、其余向量的表示系数，一次全拿到。

③ 满秩分解 $A=GH$ 是什么#

设 $r(A)=r$。取：

• $G$：$A$ 的 $r$ 个主元列，$m\times r$，列满秩；
• $H$：行最简形的前 $r$ 行（非零行），$r\times n$，行满秩。

为什么 $A=GH$？看第 $j$ 列：$GH$ 的第 $j$ 列 $=G\times(H$ 的第 $j$ 列$)$，也就是用 $H$ 第 $j$ 列的数当系数，把 $G$ 的列组合起来。而这正是 $\alpha_j$ 的表示式。

④ 大的幂换成小的幂#

矩阵乘法满足结合律，所以

$$(GH)^n=G\underbrace{(HG)(HG)\cdots(HG)}_{n-1\text{ 个}}H=G(HG)^{n-1}H$$

$HG$ 是 $r\times r$ 的小矩阵。小矩阵的幂有三种常用算法：

$HG$ 的样子	怎么算幂
$1\times1$（秩 1）	就是一个数 $\beta^T\alpha=\mathrm{tr}A$，$A^n=(\mathrm{tr}A)^{n-1}A$
$E+N$，$N^2=O$	二项式只剩两项：$(E+N)^k=E+kN$
有两个不同特征值	先对角化：$(HG)^k=P\Lambda^kP^{-1}$

还有一个顺带的结论：$GH$ 和 $HG$ 的非零特征值完全相同，所以 $\mathrm{tr}(A^k)=\mathrm{tr}\left((HG)^k\right)$。变式 2 会用到。

⑤ 易错点#

• 顺序别写反：$A=GH$，是 $G$ 在左；$HG$ 是 $2\times2$，$GH$ 才是 $4\times4$。
• 指数是 $n-1$，不是 $n$：10 次方里只夹着 9 个 $HG$。
• $H$ 必须取行最简形的非零行，不能取只化到阶梯形的行，否则 $G$ 和 $H$ 对不上。

✍️ 详细步骤#

(1) 第 1 步：行变换。

$$A=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&-1&-1&1\\-1&0&1&-1\\-1&-2&-1&1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&-1&1\\0&1&1&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$$

过程：$r_3+r_1$ 得 $(0,1,1,-1)$，$r_4+r_1$ 得 $(0,-1,-1,1)$，都和第 2 行成比例，消成 0；再把第 2 行乘 $-1$，用它消去第 1 行第 2 列。

第 2 步：下结论。 所以 $r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=2$。

$\alpha_1,\alpha_2$ 对应主元列，线性无关，个数等于秩，所以它们是一个极大线性无关组。

第 3 步：读出表示系数。 由行最简形的第 3、4 列：

$$\alpha_3=-\alpha_1+\alpha_2,\qquad\alpha_4=\alpha_1-\alpha_2$$

（检查一下：$-\alpha_1+\alpha_2=(0,-1,1,-1)^T=\alpha_3$ ✓）

(2) 第 4 步：写出 $H$。 由上面的表示式，$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=(\alpha_1,\alpha_2)H$，其中

$$H=\begin{pmatrix}1&0&-1&1\\0&1&1&-1\end{pmatrix}$$

第 5 步：换序。 $A^{10}=(GH)^{10}=G(HG)^9H$。先算小矩阵（$2\times4$ 乘 $4\times2$）：

$$HG=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$$

第 6 步：算 $(HG)^9$。 它是"单位阵 + 幂零阵"：$HG=E+N$，$N=\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix}$，$N^2=O$。

$E$ 和 $N$ 可交换，二项式展开只剩两项：

$$(HG)^9=E+9N=\begin{pmatrix}1&-9\\0&1\end{pmatrix}$$

第 7 步：乘回去。

$$A^{10}=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\\-1&0\\-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-9\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&-1&1\\0&1&1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-8&-9&9\\0&-1&-1&1\\-1&9&10&-10\\-1&7&8&-8\end{pmatrix}$$

得分点： 行最简形与秩 → 极大无关组的结论 → $\alpha_3,\alpha_4$ 的表示与 $H$ → $A^{10}=G(HG)^9H$ → $(HG)^9$ → 最终矩阵。

✅ 代码验算：直接计算 $A^{10}$ 与上式完全一致。

🔁 变式训练（由易到难）#

变式 1（换数据，直接模仿）　$\alpha_1=(1,0,1)^T$，$\alpha_2=(0,1,1)^T$，$\alpha_3=(1,-1,0)^T$，$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$。求 $H$ 使 $A=(\alpha_1,\alpha_2)H$，并求 $A^n$。

变式 2（不算幂，做判断）　对真题中的 $A$：(1) 求 $A$ 的全部特征值；(2) 求 $\mathrm{tr}(A^{10})$；(3) 判断 $A$ 能否相似对角化。

变式 3（综合：满秩分解 + 对角化）　$\alpha_1=(1,0,1)^T$，$\alpha_2=(0,1,1)^T$，$\alpha_3=(1,1,2)^T$，$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$。求 $A^n$。

变式 1 提示与解答

提示： 先看出 $\alpha_3=\alpha_1-\alpha_2$，然后照真题的流程走。

解： $\alpha_3=\alpha_1-\alpha_2$，所以

$$H=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix},\qquad HG=\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}$$

$HG=E+N$，其中 $N=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}$。验证一下 $N^2=O$，所以

$$(HG)^{n-1}=E+(n-1)N=\begin{pmatrix}n&n-1\\1-n&2-n\end{pmatrix}$$

乘回去：

$$A^n=G(HG)^{n-1}H=\begin{pmatrix}n&n-1&1\\1-n&2-n&-1\\1&1&0\end{pmatrix}$$

$n=1$ 时正好是 $A$ 本身，可以拿来检查。

变式 2 提示与解答

提示： $GH$ 和 $HG$ 的非零特征值相同。

解： (1) $HG=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$ 的特征值是 $1,1$。$A$ 是 4 阶、秩 2，另外两个特征值是 $0$。所以 $A$ 的特征值是 $0,0,1,1$。

（更严格的说法：$\lvert\lambda E-GH\rvert=\lambda^{2}\lvert\lambda E-HG\rvert=\lambda^2(\lambda-1)^2$。）

(2) $\mathrm{tr}(A^{10})$ 等于特征值 10 次方之和：$0+0+1+1=2$。对照答案矩阵的对角线：$1-1+10-8=2$ ✓。

(3) 不能。 看特征值 1：它是二重根，但

$$r(A-E)=3$$

所以属于 1 的线性无关特征向量只有 $4-3=1$ 个，不够 2 个，不能对角化。

这也解释了为什么 $A^{10}$ 里会冒出 9、10 这种"跟 $n$ 线性增长"的数：根源就是 $HG$ 里的幂零部分 $N$。

变式 3 提示与解答

提示： 热身 1 已经算过 $\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$。这次 $HG$ 有两个不同特征值，要先对角化。

解： $H=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$，$HG=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$。

$HG$ 的特征值是 $1$ 和 $3$，对应特征向量 $(1,-1)^T$ 和 $(1,1)^T$。对角化后：

$$(HG)^{n-1}=\frac12\begin{pmatrix}1+3^{n-1}&3^{n-1}-1\\3^{n-1}-1&1+3^{n-1}\end{pmatrix}$$

乘回去：

$$A^n=G(HG)^{n-1}H=\frac16\begin{pmatrix}3+3^n&3^n-3&2\cdot3^n\\3^n-3&3+3^n&2\cdot3^n\\2\cdot3^n&2\cdot3^n&4\cdot3^n\end{pmatrix}$$

另一种看法： 这里 $A$ 是实对称矩阵，特征值 $0,1,3$，也可以直接正交对角化。但满秩分解只需要处理 $2\times2$，计算量小得多。

🗂 记忆卡片#

• 🔑 行最简形一出，三样全有：秩、极大无关组、其余向量的表示系数。
• 🔑 $(GH)^n=G(HG)^{n-1}H$：大的幂，换成小的幂。 秩 1 时 $HG$ 就是 $\mathrm{tr}A$。
• 🧠 $\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1&na\\0&1\end{pmatrix}$。因为 $N^2=O$，二项式只剩两项。
• ⚠️ 只能用行变换读列关系；指数是 $n-1$；$GH$ 与 $HG$ 别弄反。

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🔗 串联练习：第 21 题的曲线，用第 13、20 题的工具再看一遍#

题目　设 $y=y(x)\ (x>2)$ 是第 21 题求出的特解。

1. 不解方程，只用原方程和初值，求 $y''(3)$，并求曲线在点 $\left(3,\frac12\right)$ 处的曲率半径；
2. 判断 $y(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上的单调性，有没有极值；
3. 求曲线的拐点。

提示与解答

1. 原方程在 $x=3$ 处成立：$9y''(3)-6\cdot(-9)-81=0$，所以 $y''(3)=3$。

这一步完全不需要知道 $y$ 长什么样。方程本身就是"$y''$ 的计算公式"。

曲率 $k=\frac{\lvert y''\rvert}{\left(1+y'^2\right)^{3/2}}=\frac{3}{82^{3/2}}$，所以曲率半径

$$R=\frac1k=\frac{82\sqrt{82}}{3}$$

2. $y'=\frac{x^2}{2-x}$，在 $x>2$ 时分母为负，所以 $y'<0$。$y$ 单调递减，没有极值。

3. 对 $y'$ 求导：

$$y''=\frac{x(4-x)}{(2-x)^2}$$

$2<x<4$ 时 $y''>0$（凹），$x>4$ 时 $y''<0$（凸），在 $x=4$ 处变号。

$y(4)=-8-8-4\ln2+11=-5-4\ln2$，所以拐点是 $(4,\,-5-4\ln2)$。

一条曲线，串起了三件工具：第 21 题求出它，第 13 题量它的弯曲，第 20 题找它的拐点。

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📋 本篇速记总表#

题	考点	一句话钥匙	连到
21	可降阶二阶微分方程	缺 $y$ 令 $y'=p(x)$；见 $p^2$ 用 $z=1/p$；初值边做边代	第 2、6、13 题
22	极大无关组、满秩分解	行最简形读一切；$(GH)^n=G(HG)^{n-1}H$	第 9、10、16 题

🧩 2026 数二整卷知识串联表#

整卷 22 题到这里全部讲完。下面这张表把每道题的"核心工具"和"它能串到哪道题"放在一起，适合考前最后过一遍。

题	篇	模块	考点	核心工具	串到
1	①	极限	等价无穷小定参数	泰勒展开，低阶全消、首项对齐	12
2	①	微分方程	非齐次方程解的结构	系数和为 1 或 0	21
3	①	多元微分	隐函数偏导	$z_x=-F_x/F_z$	14、19
4	①	积分应用	细棒引力	微元法，先分解再积分	20
5	②	一元微分	极值与凹凸概念	一阶导看增减，二阶导看凹凸	19、20
6	②	一元微分	变限积分与反函数导数	反函数导数是倒数	18、21
7	②	二重积分	和式极限化二重积分	定积分定义的二维版	17
8	③	线代	置换矩阵的逆与伴随	$A^{*}=\lvert A\rvert A^{-1}$	9
9	③	线代	矩阵方程 $AB=C$ 有解	列能否被表示，比较秩	22
10	③	线代	$(A-B)^2=O$ 幂零	幂零阵的秩与特征值	22
11	④	一元积分	反常积分收敛的 $p$ 范围	与 $\frac{1}{x^p}$ 比较	20
12	④	极限	$\infty-\infty$ 型极限	通分或倒代换后泰勒	1
13	④	一元微分	隐函数曲线的曲率半径	$k=\frac{\lvert y''\rvert}{(1+y'^2)^{3/2}}$	21
14	⑤	多元微分	链式法则与全微分	画变量关系图	3、19
15	⑤	一元积分	函数平均值	$\frac{1}{b-a}\int_a^b f$	18
16	⑤	线代	规范形与秩	正负惯性指数	22
17	⑥	二重积分	极坐标二重积分	见 $x^2+y^2$ 换极坐标	7
18	⑥	一元积分	含参变限积分	积分号里有 $x$ 先换元	6、15
19	⑦	多元微分	二元极值	驻点 + $AC-B^2$	3、14
20	⑦	积分应用	拐点与旋转体体积	微元法，无界区域用反常积分	4、11
21	⑧	微分方程	可降阶微分方程	缺 $y$ 令 $y'=p(x)$	2、6、13
22	⑧	线代	满秩分解求 $A^{10}$	$(GH)^n=G(HG)^{n-1}H$	9、10、16

• 高数（共 118 分）： 极限/无穷小（1、12）、一元微分（5、6、13、20 拐点）、一元积分（4、11、15、18、20）、多元微分（3、14、19）、二重积分（7、17）、微分方程（2、21）。
• 线代（共 32 分）： 矩阵与秩（8、9、16）、特征值（10）、向量组（22）。
• 三条最粗的主线：泰勒展开（1、12）、微元法（4、7、17、20）、秩（9、10、16、22）。
• 这套题没有偏题怪题，基本都是"标准流程 + 一个小陷阱"，适合拿来检验基础是否扎实。

✅ 自测清单#

• 我能一眼判断可降阶方程是"缺 $y$"还是"缺 $x$"，并写出对应的换元。
• 我能推导伯努利方程为什么换 $z=p^{1-n}$，并会用积分因子解一阶线性方程。
• 我知道为什么初值要"边做边代"，也知道 $x>2$ 这种条件是在提示什么。
• 我能说清楚"行变换不改变列之间的线性关系"的理由，并从行最简形读出表示系数。
• 我能写出满秩分解 $A=GH$，并用 $(GH)^n=G(HG)^{n-1}H$ 算矩阵的幂。
• 我能用整卷串联表，说出每道题的核心工具。

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说明： 真题依据 2026 年全国硕士研究生招生考试数学（二）（2025 年 12 月考试），原题与参考答案见 ^[1]、^[2]。热身题和变式题为本文改编或选自经典题型。所有答案都已用 SymPy 验算。口诀只是记忆方法，不是官方结论。