傅里叶变换：把一条曲线拆成频率

一段声音在时间轴上是一条起伏的曲线。同一段声音也可以按频率描述：哪些振动成分比较强，它们的相位如何，彼此叠加后形成什么形状。

傅里叶变换把这两种描述联系起来。它不是只适用于声音的技巧；图像、通信和微分方程里，也能看到同一种“换个基底观察问题”的思路。

为什么会出现复数？#

欧拉公式把三角函数装进一个紧凑的表达式：

$$e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t).$$

因此，用复指数表示振动，并没有丢掉正弦与余弦。复数的模与辐角可以分别描述幅度和相位：

$$z=a+ib,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z=|z|e^{i\arg z}.$$

如果只保留频谱的模，通常就无法唯一还原原信号。两段信号可以有相同的幅度谱，却因为相位不同而呈现不同的波形。

先固定一套变换约定#

本文采用角频率 $\omega$，它与通常以赫兹表示的频率 $\nu$ 满足：

$$\omega=2\pi\nu.$$

定义傅里叶变换为：

$$\boxed{\widehat f(\omega)= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt}.$$

在满足相应反演条件时，逆变换为：

$$\boxed{f(t)=\frac1{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\widehat f(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega}.$$

例如，$f$ 与 $\widehat f$ 都可积时，可以在适当意义下使用反演公式；对平方可积信号，则可以通过 $L^2$ 理论扩展。后面提到的导数等性质，也各自需要相应的正则性和边界条件。

不同书籍可能把 $2\pi$ 分配在不同位置。比较公式前，先检查频率变量与归一化约定。^[1]

一个矩形脉冲，会变成什么？#

考虑宽度为 $T>0$、高度为一的矩形脉冲：

$$f(t)= \begin{cases} 1,& |t|\le T/2,\\ 0,& |t|>T/2. \end{cases}$$

代入定义：

$$\begin{aligned} \widehat f(\omega) &=\int_{-T/2}^{T/2}e^{-i\omega t}\,dt\\ &=\frac{2\sin(\omega T/2)}{\omega}\\ &=T\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{\omega T}{2}\right). \end{aligned}$$

这里使用的定义是 $\operatorname{sinc}(x)=\sin x/x$，并通过连续延拓规定 $\operatorname{sinc}(0)=1$，所以 $\widehat f(0)=T$。

脉冲在时间上截得很整齐，频谱却会向外延伸。越窄的时间脉冲，会对应越宽的频谱。这也解释了为什么“只看有限一段数据”会影响频率分析。

一个更平滑的例子是高斯函数：

$$f(t)=e^{-t^2/(2\sigma^2)} \quad\Longrightarrow\quad \widehat f(\omega)= \sigma\sqrt{2\pi}\,e^{-\sigma^2\omega^2/2}, \qquad \sigma>0.$$

它变换以后仍是高斯形状，时间宽度与频率宽度则朝相反方向变化。

几条性质，能省掉大量计算#

傅里叶变换具有线性：

$$\mathcal F\{af+bg\} =a\widehat f+b\widehat g.$$

把信号延迟 $t_0$，频域里会出现一个相位因子：

$$\mathcal F\{f(t-t_0)\} =e^{-i\omega t_0}\widehat f(\omega).$$

在函数足够光滑且边界项消失时，求导对应乘以 $i\omega$：

$$\mathcal F\{f'(t)\}=i\omega\widehat f(\omega).$$

定义卷积：

$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau,$$

那么，在卷积定理适用的条件下：

$$\mathcal F\{f*g\}=\widehat f\,\widehat g.$$

这使得滤波很容易理解：时间域里与某个核做卷积，相当于频率域里对不同成分乘以不同权重。

对应本文的归一化约定，能量关系是：

$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\,dt = \frac1{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}|\widehat f(\omega)|^2\,d\omega.$$

它说明转换描述方式并没有凭空创造或消灭能量。

电脑拿到的是样本#

连续积分适合理论分析。电脑实际得到的通常是 $N$ 个样本：

$$x_n=f(n\Delta t),\qquad n=0,1,\ldots,N-1,\qquad f_s=\frac1{\Delta t}.$$

离散傅里叶变换，也就是 DFT，定义为：

$$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-i2\pi kn/N}, \qquad k=0,\ldots,N-1.$$

它的逆变换为：

$$x_n=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}X_k e^{i2\pi kn/N}.$$

正向与逆向的符号和 $1/N$ 要配套。常见的 FFT 是快速计算 DFT 的算法，并不是另一种变换。^[2]

把 DFT 看成有限时间区间内连续积分的近似时，还会涉及 $\Delta t$ 的比例因子；直接把 DFT 数组当成前面连续变换的数值，容易弄错单位和幅度。

两个频率，做一个可复现的例子#

构造一个合成信号：

$$x(t)=\sin(2\pi\cdot5t)+0.5\sin(2\pi\cdot12t).$$

它由幅度为一的 $5\,\mathrm{Hz}$ 正弦波，与幅度为 $0.5$ 的 $12\,\mathrm{Hz}$ 正弦波相加。使用 $f_s=128\,\mathrm{Hz}$，采集 $N=128$ 个样本：

$$\Delta\nu=\frac{f_s}{N}=1\,\mathrm{Hz}.$$

这两个频率都恰好落在 DFT 的频点上，适合观察幅度标定。对于实信号、偶数 $N$，单边幅度谱的内部频点可计算为：

$$A_k=\frac{2|X_k|}{N}, \qquad 1\le k<N/2.$$

直流分量 $k=0$ 和奈奎斯特频点 $k=N/2$ 不乘二。

import numpy as np

fs = 128
n = 128
t = np.arange(n) / fs
x = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 12 * t)

spectrum = np.fft.rfft(x)
frequency = np.fft.rfftfreq(n, d=1 / fs)
amplitude = np.abs(spectrum) / n
amplitude[1:-1] *= 2  # 此例 n 为偶数；不加倍直流与奈奎斯特频点

print(frequency[5], round(amplitude[5], 6))    # 5.0 1.0
print(frequency[12], round(amplitude[12], 6)) # 12.0 0.5

这张图由同样的合成信号生成；对应的两个谱峰已通过数值计算核对。它不是现场录音的频谱。

最常见的两个误会#

采样够快，还需要知道信号范围#

对理想带限信号，通常要求采样频率严格高于最高频率的两倍：

$$f_s>2\nu_{\max}.$$

若高频成分在采样前没有被限制，它们可能混叠成低频。采样之后再提高 FFT 点数，无法恢复已经混叠的信息。

频谱旁边的波纹，不一定是新频率#

有限长度的数据，相当于给原信号乘了一个时间窗。在本文约定下，时间域相乘对应频域卷积：

$$\mathcal F\{fw\} =\frac1{2\pi}(\widehat f*\widehat w).$$

当观测区间不能容纳整数个周期时，能量可能散到相邻频点，形成频谱泄漏。加窗可以降低某些旁瓣，但往往会加宽主瓣，也会影响幅度，需要按窗函数做相应校正。

补零能够让频谱曲线采样得更密，却不会增加观测时间，也不会自动提高分辨两个邻近频率的能力。

理解傅里叶变换之后，再看一条起伏曲线，就多了一种问题可问：它由哪些尺度的变化组成？这些变化是信号自身的结构，还是观测方式留下的痕迹？频谱有用，前提是我们也记得它怎样被算出来。

延伸阅读#

1. Fourier transform
2. NumPy：离散傅里叶变换与归一化约定